البرهان الجبري

في هذا الدرس سنتعرف على **البرهان الجبري**، ولكن قبل ذلك نحتاج إلى معرفة المقصود بعلم الجبر.

ما هو الجبر؟

تنقسم الرياضيات إلى عدة فروع، منها:

- **الحساب**: ويشمل العمليات الأساسية مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة. - **الجبر**: ويهتم بالمتغيرات والمعادلات وإيجاد قيم المجهولات. - **الهندسة (Geometry)**: وتهتم بالأشكال الهندسية وخواصها. - **حساب المثلثات**. - **الإحصاء**. - **التفاضل والتكامل**.

فعندما نتعامل مع متغيرات مثل \(x\) أو \(y\)، ونريد إيجاد قيمها باستخدام المعادلات، فإننا نكون في عالم **الجبر**.

ما هو البرهان الجبري؟

البرهان الجبري هو استخدام قوانين وخصائص الجبر لإثبات صحة عبارة أو نظرية أو لإثبات أن قيمة متغير تساوي قيمة معينة.

ويعتمد البرهان الجبري على مجموعة من خصائص الأعداد الحقيقية.

أهم خصائص الأعداد الحقيقية المستخدمة في البرهان

### 1. خاصية الجمع للمساواة

إذا كان:

**A = B**

فإن:

**A + C = B + C**

أي يمكن إضافة العدد نفسه للطرفين دون أن تتغير المساواة.

---

### 2. خاصية الطرح للمساواة

إذا كان:

**A = B**

فإن:

**A − C = B − C**

---

### 3. خاصية الضرب للمساواة

إذا كان:

**A = B**

فإن:

**AC = BC**

---

### 4. خاصية القسمة للمساواة

إذا كان:

**A = B**

فإن:

**A / C = B / C**

بشرط أن:

**C ≠ 0**

---

### 5. خاصية الانعكاس للمساواة

كل كمية تساوي نفسها:

**A = A**

---

### 6. خاصية التماثل للمساواة

إذا كان:

**A = B**

فإن:

**B = A**

---

### 7. خاصية التعدي للمساواة

إذا كان:

**A = B**

و

**B = C**

فإن:

**A = C**

---

### 8. خاصية التعويض

إذا كان:

**A = B**

فيمكن استبدال أحدهما بالآخر في أي معادلة.

---

### 9. خاصية التوزيع

إذا كان لدينا:

**A(B + C)**

فإن:

**AB + AC**

مثال على البرهان الجبري

المعطى:

**−5(x + 4) = 70**

المطلوب:

**إثبات أن x = −18**

### خطوات الحل

1. نستخدم خاصية التوزيع:

**−5x − 20 = 70**

2. نضيف 20 للطرفين (خاصية الجمع للمساواة):

**−5x = 90**

3. نقسم الطرفين على −5 (خاصية القسمة للمساواة):

**x = −18**

وبذلك ثبتت النتيجة المطلوبة.

كتابة البرهان باستخدام جدول

عادة يكتب البرهان في جدول مكون من عمودين:

| العبارات | المبررات | |----------|-----------| | −5(x + 4) = 70 | المعطيات | | −5x − 20 = 70 | خاصية التوزيع | | −5x = 90 | خاصية الجمع للمساواة | | x = −18 | خاصية القسمة للمساواة ثم التبسيط |

---

# البرهان الهندسي

البرهان الهندسي يعتمد على نفس خصائص الجبر السابقة، بالإضافة إلى:

- التعريفات. - المسلمات. - النظريات الهندسية.

مثال

لدينا ثلاث زوايا بحيث:

- الزاوية الأولى تطابق الزاوية الثانية. - الزاوية الثانية تطابق الزاوية الثالثة.

وقياس الزاويتين المطلوبتين هو:

- **8x − 5** - **6x + 7**

والمطلوب إثبات أن:

**x = 6**

### خطوات البرهان

1. نكتب المعطيات.

2. من تعريف تطابق الزوايا نستنتج أن قياسات الزوايا المتطابقة متساوية.

3. باستخدام خاصية التعدي للمساواة:

إذا كانت الزاوية الأولى = الثانية، والثانية = الثالثة،

فإن:

**الأولى = الثالثة**

4. نعوض بقياسات الزوايا:

**8x − 5 = 6x + 7**

5. نضيف 5 للطرفين (خاصية الجمع للمساواة):

**8x = 6x + 12**

6. نطرح 6x من الطرفين (خاصية الطرح للمساواة):

**2x = 12**

7. نقسم الطرفين على 2 (خاصية القسمة للمساواة):

**x = 6**

8. ويمكن كتابة النتيجة أيضاً على الصورة:

**6 = x**

ثم باستخدام **خاصية التماثل للمساواة** نستنتج:

**x = 6**

ملخص الدرس

- البرهان الجبري يعتمد على استخدام خصائص الأعداد الحقيقية لإثبات النتائج. - أهم الخصائص هي: - الجمع للمساواة. - الطرح للمساواة. - الضرب للمساواة. - القسمة للمساواة. - الانعكاس. - التماثل. - التعدي. - التعويض. - التوزيع. - البرهان الهندسي يستخدم هذه الخصائص بالإضافة إلى التعريفات والمسلمات والنظريات الهندسية. - تنظيم البرهان في جدول (عبارات ومبررات) يجعل خطوات الإثبات واضحة ومنطقية.