البرهان الجبري والهندسي
البرهان الجبري
الرياضيات — الجبر والهندسة
الهدف: استخدام خصائص الأعداد الحقيقية لإثبات صحة عبارات رياضية خطوة بخطوة.
خصائص المساواة الأساسية
— الجمع: إذا كان فإن .
— الطرح: إذا كان فإن .
— الضرب: إذا كان فإن .
— القسمة: إذا كان و فإن .
— التوزيع: .
— الانعكاس: .
— التماثل: إذا كان فإن .
— التعدي: إذا كان و فإن .
— التعويض: يمكن استبدال بـ في أي معادلة إذا كان .
مثال ١ — برهان جبري خطوة بخطوة
— المعطى: .
— المطلوب: إثبات أن .
مثال ٢ — برهان هندسي
— المعطى: الزاوية ١ ≅ الزاوية ٢ ≅ الزاوية ٣، حيث ∠١ = و ∠٣ = .
— المطلوب: إثبات أن .
— من التعدي: m∠١ = m∠٣.
x = 6
مثال ٣ — استخدام التوزيع
— المعطى: .
— المطلوب: إثبات أن .
x = 6
مثال ٤ — زوايا متكاملة
— زاويتان متكاملتان: الأولى = والثانية = .
— المطلوب: إثبات أن .
— مجموع الزاويتين = 180° (تعريف التكامل):
x = 34
ملخص الخصائص
الخلاصة
— البرهان الجبري: سلسلة خطوات كل منها عبارة رياضية ومبرر.
— نبدأ دائماً من المعطيات وننتهي بالمطلوب إثباته.
— كل خطوة يجب أن تُبرَّر بخاصية أو تعريف أو مسلمة.
— البرهان الهندسي يستخدم نفس الخصائص الجبرية مضافاً إليها التعاريف والمسلمات الهندسية.
البرهان الجبري
في هذا الدرس سنتعرف على **البرهان الجبري**، ولكن قبل ذلك نحتاج إلى معرفة المقصود بعلم الجبر.
ما هو الجبر؟
تنقسم الرياضيات إلى عدة فروع، منها:
- **الحساب**: ويشمل العمليات الأساسية مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة. - **الجبر**: ويهتم بالمتغيرات والمعادلات وإيجاد قيم المجهولات. - **الهندسة (Geometry)**: وتهتم بالأشكال الهندسية وخواصها. - **حساب المثلثات**. - **الإحصاء**. - **التفاضل والتكامل**.
فعندما نتعامل مع متغيرات مثل <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span> أو <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="y" data-tex="y" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></span>، ونريد إيجاد قيمها باستخدام المعادلات، فإننا نكون في عالم **الجبر**.
ما هو البرهان الجبري؟
البرهان الجبري هو استخدام قوانين وخصائص الجبر لإثبات صحة عبارة أو نظرية أو لإثبات أن قيمة متغير تساوي قيمة معينة.
ويعتمد البرهان الجبري على مجموعة من خصائص الأعداد الحقيقية.
أهم خصائص الأعداد الحقيقية المستخدمة في البرهان
### 1. خاصية الجمع للمساواة
إذا كان:
**A = B**
فإن:
**A + C = B + C**
أي يمكن إضافة العدد نفسه للطرفين دون أن تتغير المساواة.
---
### 2. خاصية الطرح للمساواة
إذا كان:
**A = B**
فإن:
**A − C = B − C**
---
### 3. خاصية الضرب للمساواة
إذا كان:
**A = B**
فإن:
**AC = BC**
---
### 4. خاصية القسمة للمساواة
إذا كان:
**A = B**
فإن:
**A / C = B / C**
بشرط أن:
**C ≠ 0**
---
### 5. خاصية الانعكاس للمساواة
كل كمية تساوي نفسها:
**A = A**
---
### 6. خاصية التماثل للمساواة
إذا كان:
**A = B**
فإن:
**B = A**
---
### 7. خاصية التعدي للمساواة
إذا كان:
**A = B**
و
**B = C**
فإن:
**A = C**
---
### 8. خاصية التعويض
إذا كان:
**A = B**
فيمكن استبدال أحدهما بالآخر في أي معادلة.
---
### 9. خاصية التوزيع
إذا كان لدينا:
**A(B + C)**
فإن:
**AB + AC**
مثال على البرهان الجبري
المعطى:
**−5(x + 4) = 70**
المطلوب:
**إثبات أن x = −18**
### خطوات الحل
1. نستخدم خاصية التوزيع:
**−5x − 20 = 70**
2. نضيف 20 للطرفين (خاصية الجمع للمساواة):
**−5x = 90**
3. نقسم الطرفين على −5 (خاصية القسمة للمساواة):
**x = −18**
وبذلك ثبتت النتيجة المطلوبة.
كتابة البرهان باستخدام جدول
عادة يكتب البرهان في جدول مكون من عمودين:
| العبارات | المبررات | |----------|-----------| | −5(x + 4) = 70 | المعطيات | | −5x − 20 = 70 | خاصية التوزيع | | −5x = 90 | خاصية الجمع للمساواة | | x = −18 | خاصية القسمة للمساواة ثم التبسيط |
---
# البرهان الهندسي
البرهان الهندسي يعتمد على نفس خصائص الجبر السابقة، بالإضافة إلى:
- التعريفات. - المسلمات. - النظريات الهندسية.
مثال
لدينا ثلاث زوايا بحيث:
- الزاوية الأولى تطابق الزاوية الثانية. - الزاوية الثانية تطابق الزاوية الثالثة.
وقياس الزاويتين المطلوبتين هو:
- **8x − 5** - **6x + 7**
والمطلوب إثبات أن:
**x = 6**
### خطوات البرهان
1. نكتب المعطيات.
2. من تعريف تطابق الزوايا نستنتج أن قياسات الزوايا المتطابقة متساوية.
3. باستخدام خاصية التعدي للمساواة:
إذا كانت الزاوية الأولى = الثانية، والثانية = الثالثة،
فإن:
**الأولى = الثالثة**
4. نعوض بقياسات الزوايا:
**8x − 5 = 6x + 7**
5. نضيف 5 للطرفين (خاصية الجمع للمساواة):
**8x = 6x + 12**
6. نطرح 6x من الطرفين (خاصية الطرح للمساواة):
**2x = 12**
7. نقسم الطرفين على 2 (خاصية القسمة للمساواة):
**x = 6**
8. ويمكن كتابة النتيجة أيضاً على الصورة:
**6 = x**
ثم باستخدام **خاصية التماثل للمساواة** نستنتج:
**x = 6**
ملخص الدرس
- البرهان الجبري يعتمد على استخدام خصائص الأعداد الحقيقية لإثبات النتائج. - أهم الخصائص هي: - الجمع للمساواة. - الطرح للمساواة. - الضرب للمساواة. - القسمة للمساواة. - الانعكاس. - التماثل. - التعدي. - التعويض. - التوزيع. - البرهان الهندسي يستخدم هذه الخصائص بالإضافة إلى التعريفات والمسلمات والنظريات الهندسية. - تنظيم البرهان في جدول (عبارات ومبررات) يجعل خطوات الإثبات واضحة ومنطقية.
عن هذا الدرس
البرهان الجبري: سلسلة من العبارات الجبرية يُبرَّر كل منها بخاصية من خصائص المساواة (الجمع، الطرح، الضرب، القسمة، التوزيع، التعويض، الانعكاس، التماثل،… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.