المثلثات المتشابهة
المثلثات المتشابهة والدوال المثلثية
الرياضيات — الهندسة وعلم المثلثات
الهدف: فهم التشابه بين المثلثات وربطه بالدوال المثلثية الأساسية.
المثلثات المتشابهة
— مثلثان متشابهان إذا كانت زواياهما المتناظرة متساوية وأضلاعهما المتناظرة متناسبة.
— النسبة الثابتة بين الأضلاع تُسمى نسبة التشابه k.
ملاحظة
— المساحة تتناسب مع مربع نسبة التشابه، لأن البُعدين كليهما يُضرَبان في k.
طرق إثبات التشابه
— AAA: ثلاث زوايا متساوية (يكفي زاويتان لأن الثالثة تلزم).
— SAS: نسبة ضلعين متساوية والزاوية المحصورة بينهما متساوية.
— SSS: الأضلاع الثلاثة متناسبة بنسبة ثابتة.
استكشاف التشابه
الدوال المثلثية الأساسية
— نسب الأضلاع في المثلث القائم الزاوية تبقى ثابتة لنفس الزاوية — هذه هي الدوال المثلثية.
علاقة مهمة
مثال ١ — إيجاد ارتفاع مبنى
— شخص طوله 1.8 م، ظله 3 م وظل المبنى 40 م. أوجد ارتفاع المبنى.
— نستخدم التشابه بين المثلثَين:
ارتفاع المبنى = 24 م
مثال ٢ — استخدام الدوال المثلثية
— سلم طوله 10 م يميل على حائط بزاوية 60°. أوجد ارتفاع نقطة تلامسه مع الحائط.
الارتفاع = 5√3 ≈ 8.66 م
قيم الزوايا الأساسية
| الدالة | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | |||||
| cos | |||||
| tan |
خطوات حل المسائل
— الخطوة ١: ارسم المثلث وحدد المعطيات والمطلوب.
— الخطوة ٢: حدد نوع المسألة (تشابه أم دوال مثلثية).
— الخطوة ٣: اختر القانون المناسب واعزل المجهول.
— الخطوة ٤: احسب النتيجة وتحقق من منطقيتها.
ملاحظة
— الدوال المثلثية للمثلث القائم. للمثلثات غير القائمة استخدم قانون الجيب أو قانون جيب التمام.
ملخص
الخلاصة
— التشابه: المثلثات المتشابهة تتشارك نفس الزوايا وأضلاعها متناسبة بنسبة k.
— الدوال المثلثية: نشأت مباشرةً من ثبات النسب في المثلثات المتشابهة.
— sin: مقابل/وتر — cos: مجاور/وتر — tan: مقابل/مجاور.
— احفظ قيم 30° و45° و60° — هي الأكثر استخداماً في المسائل.
اختبار: المثلثات المتشابهة والمثلثات الأساسية
1 / 10عن هذا الدرس
شرح درس المثلثات المتشابهة في أول ثانوي، الفصل الثاني، الثانوية — فيديو تعليمي، أمثلة محلولة، اختبار لفهمك من أكاديمية موسى هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.