المميز في المعادلات التربيعية

الرياضيات — الجبر

Δ = 0

حل مكرر واحد

Δ < 0

حلان مركبان

Δ > 0

حلان حقيقيان

١ تعريف المميز

— في القانون العام، الجزء الذي تحت الجذر يُسمى المميز.
— بمجرد حسابه نعرف نوع الحل قبل إيجاده.

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

\Delta = b^2 - 4ac

إشارة المميز تحدد هل الحلول حقيقية أم مركبة، ومكررة أم مختلفة

المميز = b² − 4ac

٢ الحالة الأولى — المميز = صفر

نوع الحل حل واحد مكرر — حلان متساويان

الشكل البياني رأس المنحنى يمس محور x — نقطة تماس واحدة

x = \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} = \frac{-b}{2a}

— مثال:

x^2 + 4x + 4 = 0

\Delta = 4^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0

x = \frac{-4}{2} = -2 \quad \text{(حل مكرر)}

Δ = 0 ← حل واحد مكرر

٣ الحالة الثانية — المميز أقل من صفر

نوع الحل عددان مركبان مترافقان — جزء حقيقي ± جزء تخيلي

الشكل البياني المنحنى لا يتقاطع مع محور x نهائياً

— عندما Δ < 0، الجذر يكون لعدد سالب فينتج جزء تخيلي.
— مثال:

x^2 + 2x + 5 = 0

\Delta = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16

x = -1 \pm 2i

Δ < 0 ← حلان مركبان مترافقان

٤ الحالة الثالثة — المميز أكبر من صفر

نوع الحل حلان حقيقيان مختلفان دائماً

الشكل البياني المنحنى يتقاطع مع محور x في نقطتين واضحتين

— أ) مربع كامل (1، 4، 9، 16 ...): الجذر عدد صحيح ← حلان نسبيان.
— ب) غير مربع كامل (2، 3، 5، 6 ...): الجذر غير نسبي ← حلان يحتويان جذوراً.

\Delta = 1 \;\Rightarrow\; x = 2 \;\text{ أو }\; x = 3

مربع كامل ← حلان نسبيان صحيحان

\Delta = 2 \;\Rightarrow\; x = 1 + \sqrt{2} \;\text{ أو }\; x = 1 - \sqrt{2}

غير مربع كامل ← حلان حقيقيان غير نسبيين

— مثال:

x^2 - 5x + 6 = 0

\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1

1 مربع كامل ← حلان نسبيان: x = 2 أو x = 3

Δ > 0 ← حلان حقيقيان مختلفان

٥ ملخص حالات المميز

قيمة المميز	نوع الحل	الشكل البياني
Δ = 0	حل واحد مكرر (نسبي)	يمس محور x في نقطة واحدة
Δ < 0	حلان مركبان مترافقان	لا يقطع محور x
Δ > 0 مربع كامل	حلان حقيقيان نسبيان	يقطع محور x في نقطتين
Δ > 0 غير مربع كامل	حلان حقيقيان غير نسبيين	يقطع محور x في نقطتين

٦ الخلاصة

— المميز: Δ = b² − 4ac — احسبه أولاً لمعرفة نوع الحل.
— Δ = 0: حل مكرر واحد — المنحنى يمس محور x.
— Δ < 0: حلان مركبان — المنحنى لا يقطع محور x.
— Δ > 0 مربع كامل: حلان نسبيان صحيحان أو كسريان.
— Δ > 0 غير مربع كامل: حلان حقيقيان غير نسبيين تحتوي على جذور.

المميز في المعادلات التربيعية — مسائل محلولة

الرياضيات — الجبر

المسألة ١

Δ موجب غير مربع كامل

المسألة ٢

Δ موجب مربع كامل

المسألة ٣

Δ سالب

المسألة ٤

ترتيب ثم Δ

١ أوجد عدد الجذور وحدد نوعها

2x^2 + 3x - 3 = 0

الخطوة ١ — المعاملات:

a = 2 \quad b = 3 \quad c = -3

الخطوة ٢ — حساب المميز:

\Delta = 3^2 - 4(2)(-3) = 9 + 24 = 33

— Δ = 33 > 0 ← حلان حقيقيان.
— 33 ليس مربعاً كاملاً ← الحلان غير نسبيين.
—

\sqrt{33}

لا يُبسَّط.

جذران حقيقيان غير نسبيين

٢ أوجد عدد الجذور وحدد نوعها

-5x^2 + 4x + 1 = 0

الخطوة ١ — المعاملات:

a = -5 \quad b = 4 \quad c = 1

الخطوة ٢ — حساب المميز:

\Delta = 4^2 - 4(-5)(1) = 16 + 20 = 36

— Δ = 36 > 0 ← حلان حقيقيان.
— 36 مربع كامل ← الحلان نسبيان.
—

\sqrt{36} = 6

جذران حقيقيان نسبيان

٣ أوجد عدد الجذور وحدد نوعها

-6x^2 + 5 = -4x + 8

الخطوة ١ — ترتيب المعادلة:

-6x^2 + 4x - 3 = 0

الخطوة ٢ — المعاملات:

a = -6 \quad b = 4 \quad c = -3

الخطوة ٣ — حساب المميز:

\Delta = 4^2 - 4(-6)(-3) = 16 - 72 = -56

— Δ = −56 < 0 ← المميز سالب ← حلان مركبان.

جذران مركبان مترافقان

٤ أوجد عدد الجذور وحدد نوعها

4x - 3 = -12x^2

الخطوة ١ — ترتيب المعادلة:

12x^2 + 4x - 3 = 0

الخطوة ٢ — المعاملات:

a = 12 \quad b = 4 \quad c = -3

الخطوة ٣ — حساب المميز:

\Delta = 4^2 - 4(12)(-3) = 16 + 144 = 160

— Δ = 160 > 0 ← حلان حقيقيان.
— 160 ليس مربعاً كاملاً ← الحلان غير نسبيين.
—

\sqrt{160} = 4\sqrt{10}

جذران حقيقيان غير نسبيين

٥ ملخص نتائج المسائل

المسألة	المميز	نوع الجذور
2x² + 3x − 3 = 0	Δ = 33	حقيقيان غير نسبيين
−5x² + 4x + 1 = 0	Δ = 36	حقيقيان نسبيان
−6x² + 4x − 3 = 0	Δ = −56	مركبان مترافقان
12x² + 4x − 3 = 0	Δ = 160	حقيقيان غير نسبيين

٦ الخلاصة

— رتّب المعادلة أولاً إذا لم تكن على الشكل القياسي قبل تحديد a و b و c.
— Δ سالب: حلان مركبان دائماً — لا يوجد حل حقيقي.
— Δ موجب مربع كامل: حلان نسبيان — جذره عدد صحيح.
— Δ موجب غير مربع كامل: حلان غير نسبيين — جذره يحتوي على √.
— انتبه للإشارات عند حساب 4ac — خاصة عندما يكون a أو c سالباً.