الدوال الزوجية والدوال الفردية
نفس القيمة على اليمين واليسار من محور y
القيمة على اليسار = عكس القيمة على اليمين
المساحة اليمين (موجبة) تلغي المساحة اليسار (سالبة)
| الخاصية | الزوجية | الفردية |
|---|---|---|
| الشرط | ||
| التماثل | حول محور y | حول نقطة الأصل |
| أمثلة | cos(x)، x²، |x| | sin(x)، x³، x |
| في التكامل | اضرب جهة واحدة × 2 | النتيجة = 0 على فترة متماثلة |
الدوال الزوجية والدوال الفردية
في هذا الدرس سنتعرف على **الدوال الزوجية والدوال الفردية**، ونوضح الفرق بينهما من خلال مفهوم **التماثل**، ثم نتعرف على تعريفهما الرياضي وأهميتهما في دراسة الدوال والتكامل.
مفهوم التماثل
لفهم الدوال الزوجية والفردية، يجب أولًا التعرف على مفهوم **التماثل (Symmetry)**.
ويوجد نوعان من التماثل:
- تماثل حول مستقيم. - تماثل حول نقطة.
التماثل حول مستقيم
يحدث التماثل حول مستقيم عندما يكون شكل الدالة في أحد جانبي المستقيم مطابقًا تمامًا للشكل الموجود في الجانب الآخر.
فإذا طوينا المستوى حول هذا المستقيم، فإن الجزأين ينطبقان على بعضهما تمامًا.
ويسمى هذا المستقيم **محور التماثل**.
التماثل حول نقطة
أما التماثل حول نقطة، فيعني أن لكل نقطة على المنحنى توجد نقطة أخرى تقع في الجهة المقابلة، وتبعد عن نقطة التماثل بنفس المسافة ولكن في الاتجاه المعاكس.
وعند تدوير الشكل حول نقطة التماثل بمقدار 180 درجة، ينطبق المنحنى على نفسه.
ما هي الدالة الزوجية؟
الدالة الزوجية هي الدالة التي يكون منحناها **متماثلًا حول محور الصادات (محور y)**.
أي أن شكل الدالة في الجهة اليمنى يطابق تمامًا شكلها في الجهة اليسرى.
ومن أشهر أمثلة الدوال الزوجية:
- دالة جيب التمام (Cos). - دالة القيمة المطلقة. - الدالة التربيعية.
التعريف الرياضي للدالة الزوجية
تكون الدالة زوجية إذا حققت العلاقة:
**f(-x) = f(x)**
أي أن قيمة الدالة عند العدد السالب تساوي قيمتها عند العدد الموجب المناظر له.
فإذا كانت قيمة الدالة عند:
x = 2
هي نفسها عند:
x = -2
فقد تكون الدالة زوجية.
ما هي الدالة الفردية؟
الدالة الفردية هي الدالة التي يكون منحناها **متماثلًا حول نقطة الأصل**.
أي أن كل نقطة في أحد جانبي الأصل يقابلها نقطة في الجانب الآخر لها نفس البعد ولكن في الاتجاه المعاكس.
ومن أشهر أمثلة الدوال الفردية:
- الدالة الخطية: y = x. - الدالة التكعيبية. - دالة الجيب (Sin).
التعريف الرياضي للدالة الفردية
تكون الدالة فردية إذا حققت العلاقة:
**f(-x) = -f(x)**
أي أن قيمة الدالة عند العدد السالب تساوي **سالب** قيمة الدالة عند العدد الموجب المناظر له.
فعلى سبيل المثال، إذا كانت:
f(2) = 5
فإن:
f(-2) = -5
وهذا هو الشرط الأساسي للدالة الفردية.
الفرق بين الدالة الزوجية والدالة الفردية
الفرق الأساسي بين النوعين هو نوع التماثل:
- الدالة الزوجية تتماثل حول محور الصادات. - الدالة الفردية تتماثل حول نقطة الأصل.
كما أن تعريفهما الرياضي يختلف:
- الدالة الزوجية تحقق: **f(-x) = f(x)**. - الدالة الفردية تحقق: **f(-x) = -f(x)**.
أهمية الدوال الزوجية والفردية
يساعد التعرف على نوع الدالة في تبسيط كثير من العمليات الرياضية، وخاصة في **التكامل**.
فإذا كانت الدالة زوجية، فإن المساحة الواقعة على يمين محور الصادات تساوي المساحة الواقعة على يساره.
ولذلك يكفي حساب التكامل في جهة واحدة ثم مضاعفة النتيجة.
أما إذا كانت الدالة فردية، فإن المساحات الواقعة فوق المحور وتحته تتساوى في المقدار وتختلف في الإشارة.
ولهذا فإن التكامل على فترة متناظرة حول الصفر يساوي صفرًا، لأن المساحات الموجبة والسالبة تلغي بعضها البعض.
ملخص الدرس
- الدالة الزوجية تتماثل حول محور الصادات. - الدالة الفردية تتماثل حول نقطة الأصل. - الدالة الزوجية تحقق العلاقة: **f(-x) = f(x)**. - الدالة الفردية تحقق العلاقة: **f(-x) = -f(x)**. - من أشهر الدوال الزوجية: دالة جيب التمام، والقيمة المطلقة، والدالة التربيعية. - من أشهر الدوال الفردية: دالة الجيب، والدالة التكعيبية، والدالة الخطية. - يفيد التعرف على نوع الدالة في تبسيط مسائل التكامل والاستفادة من خصائص التماثل.
عن هذا الدرس
✅ مفهوم التماثل ✅ تعريف الدالة الزوجية ✅تعريف الدالة الفردية ✅ التكامل و فائدة تصنيف الدوال هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.
