تعريف المصفوفات ورتبها

المصفوفات — التعريف والعمليات

رتبة المصفوفة
صفوف × أعمدة
الجمع والطرح
شرطهما: نفس الرتبة
a_{ij}
صف i، عمود j
١ تعريف المصفوفة

— المصفوفة هي ترتيب منتظم للأرقام أو الرموز في صفوف وأعمدة.

— تُكتب بين قوسين مربعين، وتُرمز بحرف كبير مثل A أو B.

— تُستخدم في حل أنظمة المعادلات وتنظيم البيانات والنمذجة الرياضية.

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}
— العنصر a_{ij} يقع في الصف رقم i والعمود رقم j.
— مثال: a_{23} يعني العنصر في الصف الثاني، العمود الثالث.
٢ رتبة المصفوفة

— رتبة المصفوفة تُعبَّر عنها بصيغة: عدد الصفوف × عدد الأعمدة.

— الصفوف هي الخطوط الأفقية، والأعمدة هي الخطوط العمودية.

مثال ١ — رتبة 2×4:

\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 0 \\ -2 & 3 & 6 & -8 \end{bmatrix}

مثال ٢ — رتبة 4×1 (مصفوفة عمود):

\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 5 \\ -7 \end{bmatrix}

مثال ٣ — رتبة 3×2:

\begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 9 \\ 17 & 21 \end{bmatrix}
٣ أنواع المصفوفات

المصفوفة المربعة — عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة:

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \quad 2 \times 2

مصفوفة الصف — صف واحد وعدة أعمدة:

\begin{bmatrix} 5 & 3 & 1 & 7 \end{bmatrix} \quad 1 \times 4

مصفوفة العمود — عمود واحد وعدة صفوف:

\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 8 \end{bmatrix} \quad 3 \times 1
٤ جمع المصفوفات

— شرط الجمع: يجب أن تكون المصفوفتان من نفس الرتبة.

— طريقة الجمع: نجمع كل عنصر مع العنصر المقابل في نفس الموضع.

— رتبة الناتج تساوي رتبة المصفوفتين الأصليتين.

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+e & b+f \\ c+g & d+h \end{bmatrix}

مثال — جمع مصفوفتين 2×2:

\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 11 & 3 \end{bmatrix}
— لا يمكن جمع مصفوفة 2×2 مع مصفوفة 2×3 لاختلاف الرتبة.
٥ طرح المصفوفات

— شرط الطرح: نفس شرط الجمع — يجب أن تكون المصفوفتان من نفس الرتبة.

— نطرح كل عنصر من العنصر المقابل في نفس الموضع.

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a-e & b-f \\ c-g & d-h \end{bmatrix}

مثال — طرح مصفوفتين 2×3:

\begin{bmatrix} 8 & 5 & 2 \\ 6 & 7 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 4 & -2 \\ 4 & 4 & 1 \end{bmatrix}
٦ مثال تطبيقي — مخازن التمور

تنظيم بيانات ثلاثة مخازن:

المخزن الأول 2000 — 1200 — 500 kg
المخزن الثاني 3000 — 1175 — 2250 kg
المخزن الثالث 2750 — 1500 — 1700 kg
A = \begin{bmatrix} 2000 & 1200 & 500 \\ 3000 & 1175 & 2250 \\ 2750 & 1500 & 1700 \end{bmatrix}

رتبة المصفوفة: 3×3 (3 مخازن × 3 أنواع تمور)

إجماليات كل نوع
— إجمالي الخلاص: 2000 + 3000 + 2750 = 7750 kg
— إجمالي البرحي: 1200 + 1175 + 1500 = 3875 kg
— إجمالي السكري: 500 + 2250 + 1700 = 4450 kg
٧ ملخص المفاهيم
المفهوم التعريف / الشرط المثال
المصفوفةترتيب أرقام في صفوف وأعمدةA = [a_{ij}]
رتبة المصفوفةعدد الصفوف × عدد الأعمدةm \times n
المصفوفة المربعةعدد الصفوف = عدد الأعمدةn \times n
الجمعنفس الرتبة — العناصر المتقابلةA+B=[a_{ij}+b_{ij}]
الطرحنفس الرتبة — العناصر المتقابلةA-B=[a_{ij}-b_{ij}]
ترقيم العناصرالصف i، العمود ja_{23}: صف ٢، عمود ٣
٨ الخلاصة
— المصفوفة: ترتيب منتظم للأرقام في صفوف وأعمدة، تُكتب بين قوسين مربعين.
— رتبة المصفوفة: تُحدَّد بصيغة صفوف × أعمدة، مثل 3×2 أو 2×4.
— شرط الجمع والطرح: لا بد أن تكون المصفوفتان من نفس الرتبة تماماً.
— طريقة العملية: نجمع أو نطرح العناصر المتقابلة في نفس الموضع.
— ترقيم العناصر: العنصر a_{ij} يقع في الصف i والعمود j.
الدرس السابق
1
الدرس التالي
ثاني ثانوي الفصل الأول
جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

في هذا الدرس سنتعرف على **المصفوفات**، وكيف نحدد رتبتها، وما هي شروط جمعها وطرحها، ولماذا نستخدمها في الرياضيات. ما هي المصفوفة؟ المصفوفة هي **ترتيب… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

أمثلة حساب الضرب الاتجاهي بالمصفوفات

الثانوية

دوال خاصة: دالة أكبر عدد صحيح ودالة القيمة المطلقة و الدالة متعددة التعريف

الثانوية

شروط ضرب المصفوفات

الثانوية

طريقة ضرب المصفوفات مع أمثلة

الثانوية

طريقة ايجاد محددة المصفوفات 3x3

الثانوية