المتباينات
المعادلات — علامة يساوي (=):
— تعطي حلاً واحداً محدداً. تساوي نقطة واحدة فقط.
المتباينات — أكبر أو أصغر:
— تعطي مجالاً من الحلول. أي عدد أكبر من 3 إلى ما لا نهاية.
مثال ١:
— أي عدد أكبر من 3: مثل 4، 5، 6، 7، ...
مثال ٢:
— أي عدد أكبر من أو يساوي 3: مثل 3، 4، 5، 6، ...
— في بُعدين نستخدم و
معاً.
— المعادلة تمثل خطاً، والمتباينة تمثل منطقة.
الخط الأساسي:
مثال ١ — المنطقة فوق الخط:
المنطقة المظللة فوق الخط — الخط منقط (3 غير مشمول)
مثال ٢ — فوق الخط وتشمله:
الخط مستمر — الخط نفسه ضمن الحل
مثال ٣ — المنطقة تحت الخط:
المنطقة المظللة تحت الخط — الخط منقط
مثال ٤ — تحت الخط وتشمله:
الخط مستمر — الخط نفسه ضمن الحل
| الخاصية | المعادلات | المتباينات |
|---|---|---|
| الرمز | = | >, <, ≥, ≤ |
| عدد الحلول | حل واحد محدد | مجال من الحلول |
| في المستوى | خط مستقيم | منطقة مظللة |
| الخط المنقط | — | عند > أو < فقط |
| فوق الخط | — | |
| تحت الخط | — |
تمارين محلولة — البرمجة الخطية
— تصوغ أسماء من 10 إلى 25 عقداً، ومن 15 إلى 40 سواراً شهرياً.
— أجرة صياغة العقد 50 ريالاً، وأجرة السوار 30 ريالاً.
— صاغت في أحد الأشهر 30 قطعة على الأقل. كم قطعة من كل نوع لأكبر أجر؟
المتغيرات:
دالة الهدف:
القيود:
الحل الرسومي:
المنطقة المظللة تمثل جميع الحلول الممكنة
نقاط الزوايا:
| النقطة | |||
|---|---|---|---|
| A | 10 | 20 | 1,100 |
| B | 15 | 15 | 1,200 |
| C | 25 | 15 | 1,700 |
| D ★ | 25 | 40 | 2,450 |
| E | 10 | 40 | 1,700 |
— مصنع ينتج نوعين من الإنارة: النوع الأول بـ 25 ريالاً، والثاني بـ 35 ريالاً.
— الطاقة الإنتاجية لا تزيد على 450 وحدة يومياً.
— لا يقل النوع الأول عن 100، ولا يزيد النوع الثاني على 200.
— ما عدد وحدات كل نوع لأكبر دخل يومي؟
المتغيرات ودالة الهدف:
القيود:
الحل الرسومي:
نقاط الزوايا:
| النقطة | |||
|---|---|---|---|
| A | 100 | 0 | 2,500 |
| B | 100 | 200 | 9,500 |
| C ★ | 250 | 200 | 13,250 |
| D | 450 | 0 | 11,250 |
— مصنع يُعيد تدوير ما لا يزيد على 1200 طن من البلاستيك شهرياً.
— لا يقل استخدام الحاويات الصغيرة عن 300 طن، ولا الكبيرة عن 450 طناً.
— الربح: 175 ريالاً للطن الصغير، 200 ريال للطن الكبير.
— ما أكبر ربح يمكن تحقيقه؟
المتغيرات ودالة الهدف:
القيود:
الحل الرسومي:
نقاط الزوايا:
| النقطة | |||
|---|---|---|---|
| A | 300 | 450 | 142,500 |
| B ★ | 300 | 900 | 232,500 |
| C | 750 | 450 | 221,250 |
| المسألة | دالة الهدف | الحل الأمثل |
|---|---|---|
| المجوهرات | 2,450 ريال | |
| الإنارة | 13,250 ريال | |
| التدوير | 232,500 ريال |
اختبار المتباينات
1 / 10في هذا الدرس سنتعلم كيف نحل **نظامًا من المتباينات**.
ما الفرق بين المتباينة الواحدة ونظام المتباينات؟
عندما يكون لدينا **متباينة واحدة**، فإن حلها يكون **منطقة كاملة** على المستوى الإحداثي، بخلاف معادلات المساواة التي يكون حلها نقطة أو خطًا محددًا.
ويرجع ذلك إلى أن المتباينات تستخدم العلاقات:
- أكبر من (>) - أصغر من (<) - أكبر من أو يساوي (≥) - أصغر من أو يساوي (≤)
ولذلك يكون الحل عبارة عن منطقة وليس قيمة واحدة.
كيف نحل نظام المتباينات؟
إذا كان لدينا أكثر من متباينة، فإن **حل النظام هو المنطقة المشتركة** التي تحقق جميع المتباينات في الوقت نفسه.
مثال
لدينا المتباينتان:
- \(y > 2x - 4\) - \(y \le -\frac{1}{2}x + 3\)
نبدأ برسم المستقيم:
\[ y = 2x - 4 \]
ثم نحدد منطقة الحل، وهي المنطقة الواقعة **أعلى المستقيم**، ولا نضم المستقيم نفسه لأن العلاقة هي **أكبر من (>)** فقط.
بعد ذلك نرسم المستقيم:
\[ y = -\frac{1}{2}x + 3 \]
ومنطقة الحل هي **أسفل المستقيم** مع تضمين المستقيم، لأن العلاقة هي **أصغر من أو يساوي (≤)**.
حل النظام
بعد رسم المتباينتين، يكون **حل النظام هو المنطقة المشتركة** بين منطقتي الحل، أي الجزء الذي يحقق المتباينتين معًا.
متى لا يكون للنظام حل؟
قد يحدث أحيانًا ألا توجد أي منطقة مشتركة بين المتباينات.
مثلاً إذا كان لدينا:
- \(y \ge x + 5\) - \(y < x - 4\)
فإن منطقتي الحل منفصلتان تمامًا ولا تتقاطعان، وبالتالي **لا يوجد حل للنظام**.
الخلاصة
- حل المتباينة الواحدة يكون منطقة على المستوى الإحداثي. - حل نظام المتباينات هو **تقاطع مناطق الحل** لجميع المتباينات. - إذا لم توجد منطقة مشتركة، فإن **النظام ليس له حل**.
عن هذا الدرس
المتباينات ≥ ≤ رموز المتباينات بُعد واحد مجال من القيم بُعدان منطقة في المستوى ١ الفرق بين المعادلات والمتباينات المعادلات — علامة يساوي (=): $$x = 5$$ —… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.
