طريقة ايجاد محددة المصفوفات 3x3

محددة المصفوفة 3×3

+ − +

نمط الإشارات

2×2

المحددة المساعدة

رقم واحد

الناتج النهائي

١ التعريف والرمز

— محددة المصفوفة 3×3 تُرمز بـ $\det(A)$ أو بوضع الأرقام بين خطين عموديين.

— تُحوَّل إلى مجموع ثلاث محددات 2×2 عبر التطوير بحسب الصف الأول.

\det(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}

المحددة 3×3 = مجموع (عنصر × محددة 2×2 مساعدة)

٢ الصيغة العامة

— نأخذ عناصر الصف الأول بالتناوب مع الإشارات:

+ \quad - \quad +

— لكل عنصر: نغطي صفه وعموده ونحسب محددة ما تبقى.

— الإشارة الثانية سالبة دائماً بغض النظر عن إشارة العنصر نفسه.

\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}

= a\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - b\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix}

+ c\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix}

الحد الأول إشارة موجبة

الحد الثاني إشارة سالبة — لا تنساها

الحد الثالث إشارة موجبة

٣ طريقة إيجاد المحددات المساعدة

— المثال: نطبق على المصفوفة:

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}

للعنصر الأول (1) — إشارة موجبة:

نغطي الصف الأول والعمود الأول:

+1 \times \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix}

للعنصر الثاني (2) — إشارة سالبة:

نغطي الصف الأول والعمود الثاني:

-2 \times \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}

للعنصر الثالث (3) — إشارة موجبة:

نغطي الصف الأول والعمود الثالث:

+3 \times \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}

نغطي الصف والعمود المقابل لكل عنصر ونحسب ما تبقى

٤ الحساب النهائي — المثال الكامل

المحددة الأولى:

\begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix}

= (5 \times 9) - (6 \times 8)

= 45 - 48 = -3

المحددة الثانية:

\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}

= (4 \times 9) - (6 \times 7)

= 36 - 42 = -6

المحددة الثالثة:

\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}

= (4 \times 8) - (5 \times 7)

= 32 - 35 = -3

التجميع النهائي:

= 1(-3) - 2(-6) + 3(-3)

= -3 + 12 - 9 = 0

المحددة = 0

٥ حاسبة تفاعلية — أدخل مصفوفتك

أدخل عناصر المصفوفة 3×3 لحساب المحددة خطوة بخطوة.

٦ ملخص الخطوات

الخطوة	الإجراء	ملاحظة
١	العنصر الأول × محددته المساعدة	إشارة موجبة
٢	العنصر الثاني × محددته المساعدة	إشارة سالبة دائماً
٣	العنصر الثالث × محددته المساعدة	إشارة موجبة
٤	احسب كل محددة 2×2 بقانون	غطِّ الصف والعمود
٥	اجمع النتائج الثلاث	الناتج رقم واحد

قانون المحددة 2×2:

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

٧ الخلاصة

— نمط الإشارات: الحد الأول موجب، الثاني سالب، الثالث موجب — دائماً.

— المحددة المساعدة: غطِّ صف العنصر وعموده، احسب ما تبقى بقانون

ad-bc

.

— إذا كانت المحددة = 0: فالمصفوفة لا تملك نظيراً ضربياً.

— يمكن التطوير بحسب أي صف أو عمود — الصف الأول هو الأسهل عادةً.

تمارين محددة المصفوفة 3×3

مثال ١

حالة عامة

مثال ٢

عنصر = صفر

٣ و ٤

أرقام سالبة

١ مثال ١ — حالة عامة

— احسب محددة المصفوفة:

\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}

— نطبق التطوير (نمط + − +):

= 2 \times \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} - 1 \times \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}

+ 3 \times \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}

المحددات المساعدة:

م١ (4×0) − (1×2) = −2

م٢ (0×0) − (1×1) = −1

م٣ (0×2) − (4×1) = −4

التجميع النهائي:

= 2(-2) - 1(-1) + 3(-4)

= -4 + 1 - 12 = -15

المحددة = −15

٢ مثال ٢ — عنصر يساوي صفر

— احسب محددة المصفوفة:

\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \end{vmatrix}

— نطبق التطوير بحسب الصف الأول:

= 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} - 0 \times \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}

+ 2 \times \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}

— العنصر الثاني = 0، لذا الحد الثاني بالكامل = 0 ولا نحتاج لحسابه.

المحددات المساعدة:

م١ (1×0) − (1×4) = −4

م٣ (3×4) − (1×2) = 10

التجميع النهائي:

= 1(-4) - 0 + 2(10)

= -4 + 0 + 20 = 16

المحددة = 16

٣ مثال ٣ — عنصر سالب في الصف الأول

— احسب محددة المصفوفة:

\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}

— نطبق التطوير بحسب الصف الأول:

= 2 \times \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - (-1) \times \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}

+ 3 \times \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}

— تبسيط الإشارات: ناتج سالب × سالب = موجب، فالحد الثاني يصبح موجباً.

المحددات المساعدة:

م١ (0×−1) − (2×1) = −2

م٢ (1×−1) − (2×0) = −1

م٣ (1×1) − (0×0) = 1

التجميع النهائي:

= 2(-2) + 1(-1) + 3(1)

= -4 - 1 + 3 = -2

المحددة = −2

٤ مثال ٤ — محددات مساعدة متنوعة

— احسب محددة المصفوفة:

\begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 4 \\ 5 & 0 & 2 \end{vmatrix}

— نطبق التطوير بحسب الصف الأول:

= 3 \times \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - 2 \times \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}

+ 1 \times \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 5 & 0 \end{vmatrix}

المحددات المساعدة:

م١ (−1×2) − (4×0) = −2

م٢ (0×2) − (4×5) = −20

م٣ (0×0) − (−1×5) = 5

التجميع النهائي:

= 3(-2) - 2(-20) + 1(5)

= -6 + 40 + 5 = 39

المحددة = 39

٥ ملخص النتائج

المثال	التجميع	المحددة
١	$-4 + 1 - 12$	−15
٢	$-4 + 0 + 20$	16
٣	$-4 - 1 + 3$	−2
٤	$-6 + 40 + 5$	39

٦ الخلاصة

— نمط الإشارات: الحد الأول موجب، الثاني سالب، الثالث موجب — دائماً.

— عنصر = 0: الحد بالكامل يُلغى ولا تحتاج لحساب محددته المساعدة.

— عنصر سالب: إشارة التطوير × إشارة العنصر تُعطيان الإشارة الصحيحة.

— التحقق: اجمع الحدود الثلاثة بعناية — الأخطاء الشائعة في الإشارات والجمع.

في هذا الدرس سنتعلم كيفية حساب محددة مصفوفة \(3 \times 3\) باستخدام التوسع على الصف الأول.

الخطوة الأولى

نبدأ بعناصر الصف الأول، ونكتبها مع الإشارات بالترتيب التالي:

**موجب، سالب، موجب**.

ثم نضع بجانب كل عنصر محددة \(2 \times 2\) سنحسبها لاحقًا.

تكوين المحددات الصغرى

لكل عنصر في الصف الأول، نحذف:

- الصف الأول بالكامل. - والعمود الذي يقع فيه ذلك العنصر.

ثم نكتب العناصر المتبقية داخل محددة \(2 \times 2\).

### المحددة الأولى

نحذف:

- الصف الأول. - العمود الأول.

ثم نكوّن محددة \(2 \times 2\) من العناصر المتبقية.

### المحددة الثانية

نحذف:

- الصف الأول. - العمود الثاني.

ثم نكوّن المحددة \(2 \times 2\).

### المحددة الثالثة

نحذف:

- الصف الأول. - العمود الثالث.

ثم نكوّن المحددة \(2 \times 2\).

حساب المحددات

بعد تكوين المحددات الثلاث، نحسب قيمة كل محددة \(2 \times 2\) باستخدام القاعدة:

**حاصل ضرب القطر الرئيسي ناقص حاصل ضرب القطر الثانوي.**

ثم نضرب قيمة كل محددة في العنصر المقابل لها من الصف الأول، مع مراعاة الإشارات:

**(+ ، − ، +)**.

الخلاصة

لحساب محددة مصفوفة \(3 \times 3\):

1. نتوسع على الصف الأول. 2. نستخدم الإشارات: **(+ ، − ، +)**. 3. نحذف صف العنصر وعموده لتكوين محددة \(2 \times 2\). 4. نحسب قيمة كل محددة صغرى. 5. نضرب كل محددة في العنصر المقابل لها. 6. نجمع النتائج مع مراعاة الإشارات للحصول على قيمة المحددة.

1

حساب محددة المصفوفة 3×3:

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{vmatrix}

2

حساب محددة مصفوفة بها أصفار:

\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 5 \end{vmatrix}

3

حساب محددة مصفوفة الهوية 3×3:

\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}

4

حساب محددة مع عناصر سالبة:

\begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 4 & -5 & 6 \\ 7 & 8 & -9 \end{vmatrix}

5

حساب محددة لإيجاد مساحة المثلث: النقاط (1,2), (3,4), (5,1):

6

تحديد قابلية العكس للمصفوفة:

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}

ثاني ثانوي الفصل الأول

جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

في هذا الدرس سنتعلم كيفية حساب **محددة مصفوفة \(3 \times 3\)** باستخدام **التوسع على الصف الأول**. الخطوة الأولى نبدأ بعناصر الصف الأول، ونكتبها مع… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

طريقة ضرب المصفوفات مع أمثلة

الثانوية

أمثلة حساب الضرب الاتجاهي بالمصفوفات

الثانوية

تعريف المصفوفات ورتبها

الثانوية

شروط ضرب المصفوفات

الثانوية

محددة مصفوفة 2x2

الثانوية