طريقة ضرب المصفوفات مع أمثلة

ضرب المصفوفات

شرط الضرب

أعمدة الأولى = صفوف الثانية

رتبة الناتج

صفوف الأولى × أعمدة الثانية

A×B ≠ B×A

عدم التبديل

١ شروط ضرب المصفوفات

— الشرط الأساسي: عدد أعمدة المصفوفة الأولى = عدد صفوف المصفوفة الثانية.

— رتبة المصفوفة الناتجة = صفوف الأولى × أعمدة الثانية.

A_{m \times n} \times B_{n \times p} = C_{m \times p}

مثال — يمكن الضرب:

A_{3 \times 2} \times B_{2 \times 4} = C_{3 \times 4}

مثال — لا يمكن الضرب:

A_{3 \times 2} \times B_{3 \times 4} \quad \text{---}

— أعمدة A = 2، صفوف B = 3 — غير متساويان.

الأرقام الداخلية متساوية → ضرب ممكن، الناتج = الأرقام الخارجية

٢ طريقة ضرب المصفوفات

— العنصر $c_{ij}$ = حاصل ضرب الصف $i$ من A في العمود $j$ من B.

— نضرب كل عنصر من الصف في العنصر المقابل من العمود ثم نجمع النواتج.

c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}

مثال — ضرب مصفوفة 2×3 في 3×2:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \quad B = \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix}

c_{11}

7+18+33 = 58

c_{12}

8+20+36 = 64

c_{21}

28+45+66 = 139

c_{22}

32+50+72 = 154

C = \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix}

٣ حاسبة تفاعلية — ضرب مصفوفتين 2×2

أدخل عناصر المصفوفتين لرؤية خطوات الضرب.

A

×

B

٤ خصائص ضرب المصفوفات

عدم التبديل

A \times B \neq B \times A

التجميع

(A \times B) \times C = A \times (B \times C)

التوزيع

A \times (B+C) = A \times B + A \times C

مصفوفة الهوية

A \times I = I \times A = A

الأهم: الترتيب مهم دائماً — A×B لا يساوي B×A في العموم

٥ مسائل — جمع وطرح المصفوفات

— أوجد الناتج إن أمكن، وإلا اكتب "لا يمكن" مع ذكر السبب.

المسألة ١٣

\begin{bmatrix} 19 \\ -2 \\ 4 \\ 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -5 \\ 8 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 24 \\ -10 \\ 3 \\ 7 \end{bmatrix}

المسألة ١٤

\begin{bmatrix} 4 & -3 & 3 \\ -8 & 12 & 1 \\ 0 & -1 & 5 \\ 7 & -9 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -3 & -8 & 12 \\ -11 & -5 & 3 \\ -1 & 22 & -9 \\ -6 & 31 & 9 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 7 & 5 & -9 \\ 3 & 17 & -2 \\ 1 & -23 & 14 \\ 13 & -40 & -5 \end{bmatrix}

المسألة ١٥

\begin{bmatrix} 62 \\ -37 \\ -4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 34 & 76 & -13 \end{bmatrix}

لا يمكن — الرتبتان مختلفتان: (3×1) ≠ (1×3)

المسألة ١٦

\begin{bmatrix} 2 & 4 & 11 \\ -6 & 12 & -3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & -9 & -3 \\ 5 & 14 & 0 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} -6 & 13 & 14 \\ -11 & -2 & -3 \end{bmatrix}

المسألة ١٧

\begin{bmatrix} 5 \\ -9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 \\ -7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 9 \\ 16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ -32 \end{bmatrix}

المسألة ١٨

\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 8 & -3 \end{bmatrix}

لا يمكن — لا يمكن جمع مصفوفة (2×1) مع مصفوفة (2×2)

٦ ملخص الخصائص

الخاصية	القاعدة	ملاحظة
شرط الضرب	أعمدة الأولى = صفوف الثانية	الأرقام الداخلية
رتبة الناتج	صفوف الأولى × أعمدة الثانية	الأرقام الخارجية
عدم التبديل	A×B ≠ B×A	الترتيب مهم
التجميع	(A×B)×C = A×(B×C)	يُسمح بتغيير القوسين
التوزيع	A×(B+C) = AB+AC	الضرب يتوزع على الجمع
مصفوفة الهوية	A×I = I×A = A	لا تغير المصفوفة

٧ الخلاصة

— شرط الضرب: أعمدة الأولى = صفوف الثانية — وإلا فلا يمكن الضرب.

— رتبة الناتج: خذ الرقم الأول من A والرقم الثاني من B.

— طريقة الحساب: كل عنصر

c_{ij}

= حاصل ضرب الصف

i

في العمود

j

.

— عدم التبديل: الترتيب مهم —

A \times B \neq B \times A

في العموم.

تمارين جمع وطرح المصفوفات

شرط العملية

نفس الرتبة تماماً

ممكن ✓

مسائل ١ ٢ ٤ ٥

غير ممكن ✗

مسائل ٣ ٦

١ مسألة ١ — طرح مصفوفتي عمود

— أوجد الناتج:

\begin{bmatrix} 19 \\ -2 \\ 4 \\ 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -5 \\ 8 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}

كلتا المصفوفتين رتبتهما 4×1 — يمكن الطرح.

العنصر الأول 19 − (−5) = 24

العنصر الثاني −2 − 8 = −10

العنصر الثالث 4 − 1 = 3

العنصر الرابع 7 − 0 = 7

\begin{bmatrix} 24 \\ -10 \\ 3 \\ 7 \end{bmatrix}

٢ مسألة ٢ — طرح مصفوفتين 4×3

— أوجد الناتج:

\begin{bmatrix} 4 & -3 & 3 \\ -8 & 12 & 1 \\ 0 & -1 & 5 \\ 7 & -9 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -3 & -8 & 12 \\ -11 & -5 & 3 \\ -1 & 22 & -9 \\ -6 & 31 & 9 \end{bmatrix}

كلتا المصفوفتين رتبتهما 4×3 — يمكن الطرح.

الصف الأول 7, 5, −9

الصف الثاني 3, 17, −2

الصف الثالث 1, −23, 14

الصف الرابع 13, −40, −5

\begin{bmatrix} 7 & 5 & -9 \\ 3 & 17 & -2 \\ 1 & -23 & 14 \\ 13 & -40 & -5 \end{bmatrix}

٣ مسألة ٣ — عملية غير ممكنة

— أوجد الناتج:

\begin{bmatrix} 62 \\ -37 \\ -4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 34 & 76 & -13 \end{bmatrix}

المصفوفة الأولى رتبة 3×1 — عمود

المصفوفة الثانية رتبة 1×3 — صف

لا يمكن — الرتبتان مختلفتان: (3×1) ≠ (1×3)

٤ مسألة ٤ — طرح مصفوفتين 2×3

— أوجد الناتج:

\begin{bmatrix} 2 & 4 & 11 \\ -6 & 12 & -3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & -9 & -3 \\ 5 & 14 & 0 \end{bmatrix}

كلتا المصفوفتين رتبتهما 2×3 — يمكن الطرح.

الصف الأول −6, 13, 14

الصف الثاني −11, −2, −3

\begin{bmatrix} -6 & 13 & 14 \\ -11 & -2 & -3 \end{bmatrix}

٥ مسألة ٥ — عمليات متتالية على مصفوفات 2×1

— أوجد الناتج:

\begin{bmatrix} 5 \\ -9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 \\ -7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 9 \\ 16 \end{bmatrix}

جميع المصفوفات رتبتها 2×1 — يمكن إجراء العمليات.

الخطوة الأولى — الجمع:

\begin{bmatrix} 5 \\ -9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 \\ -7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -16 \end{bmatrix}

الخطوة الثانية — الطرح:

\begin{bmatrix} 2 \\ -16 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 9 \\ 16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ -32 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} -7 \\ -32 \end{bmatrix}

٦ مسألة ٦ — عمليات مختلطة غير ممكنة

— أوجد الناتج:

\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 8 & -3 \end{bmatrix}

المصفوفتان الأولى والثانية رتبتهما 2×1 — يمكن طرحهما:

\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ 1 \end{bmatrix}

الناتج المؤقت رتبة 2×1

المصفوفة الثالثة رتبة 2×2 — مختلفة

لا يمكن — لا يمكن جمع مصفوفة (2×1) مع مصفوفة (2×2)

٧ ملخص النتائج

المسألة	الرتبة	النتيجة
مسألة ١	4×1	ممكن ✓
مسألة ٢	4×3	ممكن ✓
مسألة ٣	3×1 و 1×3	غير ممكن ✗
مسألة ٤	2×3	ممكن ✓
مسألة ٥	2×1	ممكن ✓
مسألة ٦	2×1 و 2×2	غير ممكن ✗

٨ الخلاصة

— شرط الجمع والطرح: يجب أن تكون المصفوفتان من نفس الرتبة تماماً.

— 3×1 ≠ 1×3: مصفوفة عمود وصف لا يمكن جمعهما رغم نفس عدد العناصر.

— العمليات المتتالية: نتحقق من الرتبة بعد كل عملية قبل الانتقال للتالية.

— القاعدة العامة: الجمع والطرح يتطلبان تطابق الرتبة في الصفوف والأعمدة معاً.

في هذا الدرس سنتعلم كيف نحسب محددة مصفوفة \(3 \times 3\) باستخدام التوسع على الصف الأول.

الخطوة الأولى

نأخذ عناصر الصف الأول بالترتيب:

- العنصر الأول. - العنصر الثاني. - العنصر الثالث.

ثم نكتب بينها الإشارات بالشكل التالي:

**موجب، سالب، موجب**.

وهذا النمط ثابت دائمًا عند التوسع على الصف الأول.

تكوين المحددات الصغرى

لكل عنصر من عناصر الصف الأول ننشئ **محددة \(2 \times 2\)** بحذف:

- الصف الأول. - والعمود الذي يقع فيه ذلك العنصر.

وبذلك نحصل على ثلاث محددات صغيرة.

المحددة الأولى

للعنصر الأول نحذف:

- الصف الأول. - العمود الأول.

ثم نكتب العناصر المتبقية داخل محددة \(2 \times 2\).

المحددة الثانية

للعنصر الثاني نحذف:

- الصف الأول. - العمود الثاني.

ثم نكوّن المحددة \(2 \times 2\) من العناصر المتبقية.

المحددة الثالثة

للعنصر الثالث نحذف:

- الصف الأول. - العمود الثالث.

ثم نكتب العناصر المتبقية داخل محددة \(2 \times 2\).

حساب المحددات

بعد تكوين المحددات الثلاث، نحسب قيمة كل محددة \(2 \times 2\) بالطريقة التي تعلمناها سابقًا:

**حاصل ضرب القطر الرئيسي ناقص حاصل ضرب القطر الثانوي.**

ثم نضرب قيمة كل محددة في العنصر المقابل لها من الصف الأول، مع مراعاة الإشارات:

**موجب، سالب، موجب**.

الخلاصة

لحساب محددة مصفوفة \(3 \times 3\):

1. نتوسع على الصف الأول. 2. نستخدم الإشارات: **(+ ، − ، +)**. 3. لكل عنصر نحذف صفه وعموده لتكوين محددة \(2 \times 2\). 4. نحسب المحددات الصغرى. 5. نضرب كل محددة في العنصر المقابل لها ثم نجمع النتائج مع مراعاة الإشارات.

1

فحص إمكانية الضرب: A(3×2) × B(2×4)

2

ضرب المصفوفات:

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

3

حساب حاصل ضرب صف في عمود: [1, 2, 3] × [4; 5; 6]

4

فحص عدم إمكانية الضرب: A(2×3) × B(4×2)

5

ضرب مصفوفة 3×1 في مصفوفة 1×3:

\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 \end{bmatrix}

6

حساب A² حيث A =

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

ثاني ثانوي الفصل الأول

جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

في هذا الدرس سنتعلم كيف نحسب **محددة مصفوفة \(3 \times 3\)** باستخدام التوسع على الصف الأول. الخطوة الأولى نأخذ عناصر الصف الأول بالترتيب: - العنصر الأول.… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

أمثلة حساب الضرب الاتجاهي بالمصفوفات

الثانوية

طريقة ايجاد محددة المصفوفات 3x3

الثانوية

تعريف المصفوفات ورتبها

الثانوية

شروط ضرب المصفوفات

الثانوية

ماهي الدالة

الثانوية

شرح طريقة ضرب المصفوفات مع أمثلة – ثاني ثانوي | أكاديمية موسى