مساحة المثلث بالقانون العام
مساحة المثلث بدلالة الزاوية
القاعدة الجديدة أشمل — تتحول إلى التقليدية عند الزاوية القائمة
حرّك المنزلق أو اسحب النقطة على منحنى الجيب (مع تثبيت a=5 وb=4):
— زاويتان مكملتان (θ و 180°−θ) تعطيان نفس المساحة لأن sin θ = sin(180°−θ).
مثال ١ — AB=8، AC=6، A=30°:
المساحة = 12 سم²
مثال ٢ — XY=10، XZ=7، X=120° (منفرج):
المساحة ≈ 30.31 سم²
مثال ٣ — a=5، b=8 عند ثلاث زوايا:
م₁ = م₃ ≈ 14.14 | م₂ = 20 سم² (الأكبر عند 90°)
| الزاوية C | sin C | المساحة (a=5, b=4) |
|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 |
| 30° | 0.5 | 5 |
| 90° | 1 (القمة) | 10 (الأقصى) |
| 150° | 0.5 | 5 |
| 180° | 0 | 0 |
مثال على مساحة المثلث بالقانون العام
في هذا الدرس سنتعرف على مثال يوضح استخدام القانون العام لمساحة المثلث.
وينص القانون على أن:
مساحة المثلث = ½ × طول الضلع الأول × طول الضلع الثاني × Sin(الزاوية المحصورة بينهما)
المثال
لدينا مثلث أطوال ضلعين فيه:
- 8 سم. - 9 سم.
والزاوية المحصورة بينهما تساوي:
104°
الحل
إذا حاولنا استخدام القانون المعروف لمساحة المثلث:
مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع
فسنواجه صعوبة في إيجاد الارتفاع، لأننا سنحتاج إلى إطالة القاعدة ثم إسقاط عمود من الرأس المقابل.
ولذلك يكون استخدام القانون العام أسهل في هذه الحالة.
نعوض مباشرة في القانون:
مساحة المثلث = ½ × 8 × 9 × Sin(104°)
ثم نحسب قيمة الجيب باستخدام الآلة الحاسبة للحصول على مساحة المثلث.
حالة خاصة
إذا كانت الزاوية المحصورة بين الضلعين تساوي:
90°
فإن أحد الضلعين يمثل الارتفاع مباشرة.
وفي هذه الحالة يمكن استخدام القانون المعتاد:
مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع
فإذا كانت القاعدة 9 سم والارتفاع 8 سم، فإن:
مساحة المثلث = ½ × 9 × 8
عن هذا الدرس
مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع، ولأي مثلث بضلعين والزاوية بينهما: S = ½ ab sin C. مثال: ضلعان 8 و6 وزاوية 30° ← 12 سم²، ولماذا الزاويتان… هذا الدرس ضمن الفصل الثالث لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.