دالة الظل — التانجنت
— tan سالب في الربع الثاني والرابع (الحاصلان يختلفان).
اختر ما تريد عرضه — حرّك الإصبع على الرسم لقراءة القيمة:
مثال ١ — احسب tan(240°):
tan(240°) = √3 ≈ 1.732
مثال ٢ — احسب tan(135°):
tan(135°) = −1
مثال ٣ — بسّط tan(θ) × cos(θ):
tan(θ) × cos(θ) = sin(θ)
| الخاصية | القيمة |
|---|---|
| التعريف | tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) |
| المجال | ℝ − {90° + 180°n} |
| المدى | (−∞, +∞) |
| الدورة | 180° أو π |
| نوع الدالة | فردية: tan(−θ) = −tan(θ) |
| الخطوط المقاربة | عند cos(θ) = 0 |
دالة الظل
في هذا الدرس سنتعرف على دالة الظل (Tan).
وترتبط دالة الظل بدالتي الجيب وجيب التمام وفق العلاقة:
Tan(θ) = Sin(θ) ÷ Cos(θ)
ولفهم سلوكها، نستعين بدائرة الوحدة.
دالة الظل في دائرة الوحدة
في دائرة الوحدة:
- Sin(θ) يمثل الإحداثي y. - Cos(θ) يمثل الإحداثي x.
وبالتالي فإن:
Tan(θ) = y ÷ x
من 0° إلى 90°
عند الزاوية:
0°
يكون:
Sin(0°) = 0
ولذلك:
Tan(0°) = 0
ومع زيادة الزاوية يزداد الجيب، بينما يتناقص جيب التمام حتى يصل إلى:
Cos(90°) = 0
وعند القسمة على الصفر تصبح دالة الظل غير معرفة، لذلك يتجه منحنى الدالة نحو ما لا نهاية.
من 0° إلى -90°
في هذا المجال يبقى جيب التمام موجبًا، بينما يصبح الجيب سالبًا.
ولذلك تكون قيمة دالة الظل سالبة.
ويبدأ المنحنى من الصفر ثم يتجه إلى سالب ما لا نهاية عندما تقترب الزاوية من:
-90°
ويكون منحنى الدالة متناظرًا حول نقطة الأصل، لذلك تعد دالة الظل دالة فردية.
تكرار المنحنى
يتكرر شكل منحنى دالة الظل كل:
180°
ولذلك فإن فترة دالة الظل تساوي:
180°
السعة (Amplitude)
ليس لدالة الظل سعة، لأن قيمها تمتد من:
سالب ما لا نهاية
إلى:
موجب ما لا نهاية.
المدى
مدى دالة الظل هو:
جميع الأعداد الحقيقية.
المجال
مجال دالة الظل هو جميع الأعداد الحقيقية، ما عدا الزوايا التي يكون عندها:
Cos(θ) = 0
أي عند الزوايا:
90°، 270°، 450°، ...
وبصورة عامة:
θ ≠ 90° + 180°n
حيث n عدد صحيح.
ملاحظات مهمة
- دالة الظل تساوي صفرًا عند الزوايا التي يكون فيها الجيب مساويًا للصفر. - دالة الظل غير معرفة عند الزوايا التي يكون فيها جيب التمام مساويًا للصفر. - فترة دالة الظل تساوي 180°، ولذلك يتكرر منحناها كل 180 درجة.
عن هذا الدرس
دالة الظل في هذا الدرس سنتعرف على دالة الظل (Tan). وترتبط دالة الظل بدالتي الجيب وجيب التمام وفق العلاقة: Tan(θ) = Sin(θ) ÷ Cos(θ) ولفهم سلوكها، نستعين… هذا الدرس ضمن الفصل الثالث لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.
