دالة الظل

التعريف

sin ÷ cos

الدورة

180° فقط

المدى

جميع الأعداد الحقيقية

١ تعريف دالة الظل

\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}

في المثلث القائم الضلع المقابل / الضلع المجاور

عدم التعريف cos(θ) = 0 ← 90° + 180°n

— عند cos(θ) = 0 نقسم على الصفر — لهذا تظهر الخطوط المقاربة العمودية في الرسم البياني.

٢ إشارة دالة الظل في الأرباع الأربعة

الربع الأول — 0° إلى 90°

sin > 0 ، cos > 0

tan = موجب ✓

الربع الثاني — 90° إلى 180°

sin > 0 ، cos < 0

tan = سالب ✗

الربع الثالث — 180° إلى 270°

sin < 0 ، cos < 0

tan = موجب ✓

الربع الرابع — 270° إلى 360°

sin < 0 ، cos > 0

tan = سالب ✗

— tan موجب في الربع الأول والثالث (الحاصلان يتشابهان).
— tan سالب في الربع الثاني والرابع (الحاصلان يختلفان).

٣ الرسم البياني التفاعلي

اختر ما تريد عرضه — حرّك الإصبع على الرسم لقراءة القيمة:

الزاوية: — | tan = —

tan(θ)

٤ الخطوط المقاربة والدورة

\theta = 90° + n \times 180° \quad (n \in \mathbb{Z})

أمثلة −90°, 90°, 270°, 450° ...

الدورة

\tan(\theta + 180°) = \tan(\theta)

دالة فردية

\tan(-\theta) = -\tan(\theta)

— لماذا الدورة 180°؟ — لأن tan = sin/cos، وعند الانتقال من 0° إلى 180° تعيد النسبة نفس القيم تماماً.

٥ أمثلة محلولة

مثال ١ — احسب tan(240°):

الربع240° = 180°+60° → ربع ثالث

الإشارةtan موجب في الربع الثالث

الحساب

\tan(60°) = \sqrt{3}

tan(240°) = √3 ≈ 1.732

مثال ٢ — احسب tan(135°):

الربعالثاني — tan سالب

الزاوية المرجعية180° − 135° = 45°

الحساب

-\tan(45°) = -1

tan(135°) = −1

مثال ٣ — بسّط tan(θ) × cos(θ):

\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \times \cos(\theta) = \sin(\theta)

tan(θ) × cos(θ) = sin(θ)

∑ ملخص خصائص دالة الظل

الخاصية	القيمة
التعريف	tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
المجال	ℝ − {90° + 180°n}
المدى	(−∞, +∞)
الدورة	180° أو π
نوع الدالة	فردية: tan(−θ) = −tan(θ)
الخطوط المقاربة	عند cos(θ) = 0

✓ الخلاصة

— التعريف: tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) — نسبة الجيب إلى جيب التمام.

— الدورة: 180° فقط — نصف دورة الجيب وجيب التمام.

— الخطوط المقاربة: عند 90° + 180°n حيث cos = 0.

— الإشارة: موجب في الربع الأول والثالث — سالب في الثاني والرابع.

— التناظر: دالة فردية متناظرة حول نقطة الأصل.

الشرح

دالة الظل — التانجنت

دروس ذات صلة