الدورة والسعة للدوال الدورية

التحويلات الهندسية للدوال المثلثية

السعة

المعامل A خارج الدالة

|A|

الدورة

المعامل B داخل الدالة

\frac{360^\circ}{|B|}

التركيب

A \times \sin(B\theta)

١ تغيير السعة — الضرب خارج الدالة

y = A \times \sin(\theta)

السعة = |A|

حرّك المنزلق لترى كيف تتمدد الدالة عمودياً أو تنكمش:

السعة = 1 | المدى: من −1 إلى 1

المعامل A 1

A×sin(θ) sin(θ) مرجع

— نأخذ |A| لضمان أن السعة دائماً موجبة.
— عندما A سالب: تنعكس الدالة رأسياً مع بقاء السعة = |A|.

مثال ١ — أوجد السعة لـ y = 4×cos(θ):

|A| = |4| = 4

السعة = 4 | المدى: من −4 إلى 4

٢ تغيير طول الدورة — الضرب داخل الدالة

y = \sin(B \times \theta)

طول الدورة =

\frac{360^\circ}{|B|}

حرّك المنزلق لترى كيف تتسارع الدالة أو تتباطأ:

طول الدورة = 360^\circ | طبيعية

المعامل B 1

sin(Bθ) sin(θ) مرجع

— B > 1: الدالة تتسارع وطول الدورة يقصر.
— 0 < B < 1: الدالة تتباطأ وطول الدورة يطول.

مثال ٢ — أوجد طول الدورة لكل دالة:

\cos(\theta)

360^\circ \div 1 = 360^\circ

\cos(2\theta)

360^\circ \div 2 = 180^\circ

\cos\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)

360^\circ \div 0.5 = 720^\circ

\cos(3\theta)

360^\circ \div 3 = 120^\circ

٣ التحويلات المركبة — A وB معاً

y = A \times \sin(B \times \theta)

السعة = |A|

الدورة =

\frac{360^\circ}{|B|}

جرّب تركيبات مختلفة من A وB:

السعة = 1 | الدورة = 360^\circ

المعامل A 1

المعامل B 1

A×sin(Bθ) sin(θ) مرجع

مثال ٣ — حلّل y = 3×sin(2θ):

المعاملان

A = 3,\quad B = 2

السعة

|A| = |3| = 3

طول الدورة

\frac{360^\circ}{2} = 180^\circ

عدد الدورات

\frac{360^\circ}{180^\circ} = 2

السعة = 3 | طول الدورة = 180^\circ

∑ ملخص القوانين

التحويل	الشكل	القانون
السعة	$A \times \sin(\theta)$	$\|A\|$
الدورة	$\sin(B\theta)$	$\frac{360^\circ}{\|B\|}$
تسريع	$B > 1$	دورة أقصر
تبطيء	$0 < B < 1$	دورة أطول

✓ الخلاصة

— السعة: A خارج الدالة — السعة = |A| دائماً موجبة.

— طول الدورة: B داخل الدالة

\frac{360^\circ}{|B|}

— B > 1: الدالة تتسارع وتكمل دورتها في زاوية أقل.

— 0 < B < 1: الدالة تتباطأ وتحتاج زاوية أكبر.

— التركيب: في

A \times \sin(B\theta)

نحسب السعة والدورة بشكل مستقل.

الدورة والسعة للدوال الدورية

في الدرس السابق تعرفنا على أن دالتي الجيب (Sin) وجيب التمام (Cos) لهما:

- دورة تساوي 360°. - سعة تساوي 1.

لكن هل تبقى هذه القيم ثابتة دائمًا؟

الإجابة: لا، فقد تتغير السعة أو الدورة حسب معادلة الدالة.

السعة

إذا ضربنا دالة الجيب أو جيب التمام في عدد ثابت، فإن هذا العدد يحدد السعة.

فعلى سبيل المثال:

- y = 4Cos(θ)

تكون أعلى قيمة:

4

وأقل قيمة:

-4

إذن:

السعة = (4 - (-4)) ÷ 2 = 4

وكذلك في الدالة:

y = 6Cos(θ)

فإن السعة تساوي:

6

وبصورة عامة:

السعة = |A|

حيث A هو العدد المضروب في الدالة، ونأخذ قيمته المطلقة حتى تكون السعة موجبة دائمًا.

الدورة

لا تكون الدورة دائمًا 360°.

فعندما يصبح المتغير داخل الدالة:

2θ

كما في:

y = Cos(2θ)

فإن الزاوية تتغير بمعدل أسرع، ولذلك تكمل الدالة دورة كاملة في نصف الزمن.

فتصبح الدورة:

180°

وبصورة عامة:

الدورة = 360° ÷ |B|

حيث B هو معامل الزاوية داخل الدالة.

إذا كان معامل الزاوية أكبر من 1

إذا كان معامل الزاوية:

2 أو 3 أو 4 أو أي عدد أكبر من 1

فإن الدالة تتغير بسرعة أكبر، ولذلك تقل الدورة.

فكلما زادت قيمة معامل الزاوية، قصرت الدورة.

إذا كان معامل الزاوية بين 0 و1

إذا كان معامل الزاوية كسرًا، مثل:

½

كما في:

y = Cos(θ/2)

فإن الدالة تتغير ببطء، ولذلك تحتاج إلى ضعف الزمن لإكمال دورة كاملة.

فتصبح الدورة:

720°

ملاحظات مهمة

- السعة تعتمد على العدد المضروب خارج الدالة. - الدورة تعتمد على معامل الزاوية داخل الدالة. - قانون السعة:

السعة = |A|

- قانون الدورة:

الدورة = 360° ÷ |B|

حيث:

- A هو معامل الدالة. - B هو معامل الزاوية داخل الدالة.

ثاني ثانوي الفصل الثالث

جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

الدورة والسعة للدوال الدورية في الدرس السابق تعرفنا على أن دالتي الجيب (Sin) وجيب التمام (Cos) لهما: - دورة تساوي 360°. - سعة تساوي 1. لكن هل تبقى هذه… هذا الدرس ضمن الفصل الثالث لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

الساين والكوساين الدورة والسعة

الثانوية

مفهوم الدوال الدورية

الثانوية

تجربة ذات الحدين

الثانوية

فضاء العينة ومبدأ العد الأساسي

الثانوية

التوافيق ببساطة

الثانوية