دالة الكوتان

دالة الكوتانجنت — cot(x)

التعريف

\cot = \frac{\cos}{\sin} = \frac{1}{\tan}

المجال

\mathbb{R} \setminus \{n \cdot 180°\}

الدورة

180°

١ تعريف دالة الكوتان

\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}

عدم التعريف

\sin x = 0 \implies x = n \cdot 180°

أصفار الدالة

\cos x = 0 \implies x = 90° + n \cdot 180°

— الكوتان معرّفة عند 90° وتساوي صفراً — بعكس التان التي تذهب إلى ما لا نهاية هناك.

٢ العلاقة بين التان والكوتان

\tan = 0

\cot = \pm\infty

\tan = \pm\infty

\cot = 0

عند الزاوية 45°:

\cot 45° = \frac{1}{\tan 45°} = \frac{1}{1} = 1

عند الزاوية 135°:

\cot 135° = \frac{1}{\tan 135°} = \frac{1}{-1} = -1

التحقق بالصيغة المباشرة عند 45°:

\cot 45° = \frac{\cos 45°}{\sin 45°} = 1

\cot(45°)=1 \qquad \cot(90°)=0 \qquad \cot(0°)=\pm\infty

٣ الرسم البياني — cot مقارنةً بـ tan

حرّك الشريط لاستكشاف قيمتَي cot وtan — فعّل/أوقف إظهار التان بالزر:

الزاوية 90°

cot(x) tan(x) خط مقارب

٤ خصائص دالة الكوتان

x \neq n \cdot 180°, \quad n \in \mathbb{Z}

المجال

\mathbb{R} \setminus \{n \cdot 180°\}

المدى

(-\infty,\ +\infty)

الدورة

180°

الأصفار

90° + n \cdot 180°

الخطوط المقاربة

n \cdot 180°

الاتجاه تتناقص في كل فترة

— التان: خطوط مقاربة عند 90°+n·180° — الكوتان: خطوط مقاربة عند n·180° — المواضع معكوسة تماماً.

٥ نقطة متحركة على cot(x)

اضغط تشغيل لمشاهدة النقطة تصل إلى الأصفار والخطوط المقاربة:

∑ مقارنة: tan مقابل cot

الخاصية	tan(x)	cot(x)
التعريف	$\frac{\sin x}{\cos x}$	$\frac{\cos x}{\sin x}$
الخطوط المقاربة	$90° + n \cdot 180°$	$n \cdot 180°$
الأصفار	$n \cdot 180°$	$90° + n \cdot 180°$
الدورة	$180°$	$180°$
الاتجاه	تتزايد	تتناقص

✓ الخلاصة

— التعريف: مقلوب التان تماماً

\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}

— الخطوط المقاربة: عند

n \cdot 180°

— الأصفار: عند

90° + n \cdot 180°

— الدورة والمدى: مثل التان — 180° وجميع الأعداد الحقيقية.

دالة الكوتان

في هذا الدرس سنتعرف على **دالة الكوتان (Cotangent)**، وهي مقلوب دالة الظل.

وتُعرف بالعلاقة:

Cot(θ) = 1 / Tan(θ)

رسم الدالة

بما أن الكوتان هو مقلوب الظل، فإننا نبدأ برسم دالة الظل.

- عند النقاط التي تكون فيها قيمة **Tan(θ) = 0** تصبح:

Cot(θ) = 1 / 0

ولذلك تتجه دالة الكوتان إلى **±∞**.

- وعند النقاط التي تكون فيها دالة الظل غير معرفة (تتجه إلى ±∞)، فإن:

Cot(θ) = 1 / ∞ = 0

ولذلك يمر منحنى الكوتان بقيمة الصفر عند هذه الزوايا.

الدورة

دالة الكوتان تعيد نفسها كل:

180°

أو

π راديان

وهو نفس طول دورة دالة الظل.

السعة

لا توجد سعة لدالة الكوتان.

وذلك لأن قيمها تمتد من:

−∞ إلى +∞

المجال

المجال هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا الزوايا التي تكون عندها:

Tan(θ) = 0

أي:

θ ≠ 180° × n

حيث n عدد صحيح.

فعند هذه الزوايا تكون دالة الكوتان غير معرفة لأنها تساوي:

1 ÷ 0

المدى

مدى دالة الكوتان هو:

جميع الأعداد الحقيقية

ملاحظة مهمة

يختلف مجال دالة الكوتان عن مجال دالة الظل.

- **دالة الظل** غير معرفة عند:

θ = 90° + 180°n

لأن قيمة الظل تتجه إلى ±∞.

- أما **دالة الكوتان** فهي معرفة عند هذه الزوايا، لأن:

Cot(θ) = 1 / Tan(θ)

وواحد على ما لا نهاية يساوي صفر.

بينما تكون دالة الكوتان غير معرفة عند:

θ = 180° × n

لأن قيمة الظل عندها تساوي صفر، وبالتالي يصبح المقام صفراً.

خلاصة

- **Cot(θ) = 1 / Tan(θ).** - **الدورة = 180°.** - **السعة: غير معرفة.** - **المجال:** جميع الأعداد الحقيقية ما عدا θ = 180°n. - **المدى:** جميع الأعداد الحقيقية. - تختلف نقاط عدم التعريف بين دالتي **الظل** و**الكوتان**.

ثاني ثانوي الفصل الثالث

جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

دالة الكوتان في هذا الدرس سنتعرف على **دالة الكوتان (Cotangent)**، وهي مقلوب دالة الظل. وتُعرف بالعلاقة: Cot(θ) = 1 / Tan(θ) رسم الدالة بما أن الكوتان هو… هذا الدرس ضمن الفصل الثالث لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

دالة الظل

الثانوية

دالة الكوسيكانت

الثانوية

دالة السيكانت

الثانوية

تجربة ذات الحدين

الثانوية

فضاء العينة ومبدأ العد الأساسي

الثانوية