الأساس في اللوغاريتم: log بدون أساس يعني الأساس 10، واللوغاريتم الطبيعي ln أساسه e، وقانون تغيير الأساس بالحاسبة

عندما نرى log عدد فدائمًا ننظر إلى الأساس: log₂ 4 = 2، و log₂ 8 = 3.

فكرة اللوغاريتم

كما رأينا سابقًا، فكرة اللوغاريتم أننا نأخذ العدد الذي تحت (الأساس) ونرفعه إلى الأس الذي على اليمين بعد علامة يساوي، فيطلع لنا الناتج الذي قبل علامة يساوي.

فعندما أقول log₂ 8 فكأنني أسأل: ما الأس الذي أرفع إليه العدد 2 حتى أحصل على 8؟

فعندما نرى log يأتي في بالنا دائمًا أننا نبحث عن الأس. الأساس موجود معنا هنا، والنتيجة تكون هنا، فلم يبقَ لنا إلا الأس الذي بعد علامة يساوي.

log بدون أساس

أحيانًا نرى log بدون أساس، وهذا متعارف عليه أن الأساس 10.

فلو سألك أحد: ما log 100؟ تقول على طول: يساوي 2، لأن الأساس 10، و 10² = 100. و log 1000 = 3 لأن 10³ = 1000.

فالأساس 10 متميز ويتكرر معنا كثيرًا، ولذلك صار متعارفًا عليه: إذا لم نضع أساسًا فالأساس 10.

اللوغاريتم الطبيعي ln

عندنا أساس ثانٍ مهم: إذا كان الأساس هو العدد e، وهذا الرقم السحري الذي يتكرر معنا في الطبيعة كثيرًا، ولذلك جعلنا له رمزًا ثانيًا هو ln، فغيّرنا كلمة log كلها إلى ln.

فعندما نرى ln، وينطقونها "لِن"، وهي مأخوذة من natural log، فمعناه أن الأساس عندنا e. فإذا رأيت ln e فهي نفسها log_e e وتساوي 1.

تغيير الأساس

بقيت عندنا النقطة الأخيرة وهي تغيير الأساس. لو كان عندنا حاسبة تحسب لنا log فقط، أي الأساس 10، ونريد أن نحسب مثلًا log₂ 5، فمن الصعب أن نحسبها مباشرة ونحتاج إلى حاسبة، والحاسبة لا تحسب لنا إلا log 10.

توجد خاصية تقول إن log₂ 5 هي نفسها log 5 ÷ log 2 لأساس مختلف، وهو هنا مثلًا 10. أو نستطيع أن نستخدم log بأساس آخر، فنقول مثلًا log₃ 5 ÷ log₃ 2. لكننا نختار الأساس 10 لأن عندنا حاسبة تطلع لنا log 10 بسرعة.

مثال أخير: لو عندنا ln 3 وسنستخدم الحاسبة التي فيها log 10. نحن نعرف أن ln 3 هو log₃ للأساس e، أي log_e 3، فمعناه أنها تساوي log 3 للأساس 10 ÷ log e للأساس 10.