تسهيل معادلات القطوع المخروطية

نبدأ من الدائرة والقطع الناقص

لكي نسهّل فهمنا للقطوع المخروطية ومعادلاتها، دعونا نركّز على الدائرة والقطع الناقص، لأن الدائرة هي حالة خاصة من القطع الناقص. واللي يميّزهم التربيع على الطرفين وعلامة زائد ما بين الحدّين: حد x وحد y.

علامة السالب: القطع الزائد

فإذا شفنا علامة سالب بين الحدّين فهذا يطلّعنا إلى القطع الزائد.

تربيع على جهة واحدة: القطع المكافئ

أما إذا شفنا التربيع على جهة واحدة فقط، على x أو على y فقط، هذا يودّينا إلى القطع المكافئ.

فمعناتها الآن الأمور واضحة: إذا كان عندنا هنا سالب معناتها القطع زائد، وإذا شفنا التربيع على جهة واحدة فقط، على x أو على y فقط، فمعناتها أنه قطع مكافئ.

الفرق بين معادلة القطع الناقص ومعادلة الدائرة

باقي عندنا نعرف الفرق ما بين معادلة القطع الناقص وما بين الدائرة. لاحظوا أنهم الآن بالصورة القياسية تقريبًا نفس الشيء، واللي يفرّق بينهم نقطة واحدة فقط: أن المقامات هنا غير متساوية، بينما في الدائرة المقامات متساوية.

مثال: معادلة الدائرة

هذه عندنا معادلة دائرة. فنقدر نقول هنا أن المقامات متساوية: هنا واحد وهنا واحد. أو نقسم على نصف القطر تربيع في الطرف اليمين اللي هو 25؛ نقسم الطرفين على 25 ويصير عندنا الطرف اليمين يساوي واحد، وتصير المقامات هنا متساوية: 25 و25.

لو صار في فرق ما بين المقامات، يعني هنا 25 وهنا 30 مثلًا، فخلاص الآن انتقلنا إلى القطع الناقص؛ صار الشكل عندنا قطع ناقص.

المحور الأكبر والمحور الأصغر

ونقدر ننظر للموضوع من منظور القطع الناقص. تذكرون معادلة المحور الأكبر والأصغر؟ المحور الأكبر يساوي 2 في الجذر التربيعي للمقام الأكبر، والمحور الأصغر يساوي 2 في الجذر التربيعي للمقام الأصغر.

فلو تساوى المقامين معناتها المحور الأكبر يساوي المحور الأصغر في القطع الناقص. ولو رجعنا لشكل قطع ناقص وساوينا المحور الأكبر مع الأصغر راح يطلع عندنا دائرة.