ملخص القطوع المخروطية

نظرة عامة على المعادلات الأربعة

هذه جميع معادلات القطوع المخروطية الأربعة. عشان نحفظها، أولاً خلونا نركز على التربيع: وين؟ على x أو على y؟ يعني على الطرفين ولا على طرف واحد فقط. النقطة الثانية: الرقم اللي بعد يساوي، هل هو واحد أو عدد غير الواحد؟ النقطة الثالثة: المقامات اللي تحت حدود x وy، هل هي مثلاً هنا عند الدائرة واحد، أو هل المقامات متساوية مثل 5 و5 مثلاً، أو إنها مختلفة؟ النقطة الرابعة: إذا كان التربيع على الطرفين فالإشارة ما بين حد x وحد y، هل هي موجب أو سالب؟ النقطة الأخيرة: معنا مركز الشكل. إحداثيات مركز الشكل هي h وk، والسالب هذه موجودة في المعادلات نفسها. فلو كان المركز النقطة (2, 3) مثلاً، فرح نلاقي إشارة السالب موجودة هنا: x − 2 وy − 3. أما لو كان مركز الشكل (−2, −3)، فلما ندخل السالب 2 هنا رح تصير موجبة، سالب في سالب موجبة، تطلع x + 2، ونفس الشيء لما ندخل السالب 3 هنا تطلع y + 3. والكلام عن المركز ينطبق على كل الأشكال. الآن هذه نظرة عامة على كل المعادلات، خلونا ناخذها واحدة واحدة.

الدائرة

نبدأ بمعادلة الدائرة. الدائرة يقول لنا التربيع على الطرفين، على x وy، والمقامات متساوية، لازم تكون متساوية، هنا عندنا تساوي واحد. الطرف اليمين هنا عبارة عن نصف القطر تربيع، ومو لازم يساوي واحد. ومهم نتذكر أنه نصف القطر تربيع وليس نصف القطر، فلو كان 25 ناخذ الجذر التربيعي له، معناته نصف القطر يساوي 5. لاحظ هنا قلنا لازم تكون المقامات متساوية، وما اشترطنا أنها دائماً تساوي واحد، مع أن الصورة القياسية تقول لنا إنها دائماً تساوي واحد. فالموضوع نفس الشيء: لو كانوا يساوون 5 مثلاً فنضرب الطرفين في 5 ونلغي المقامات فتصير تساوي واحد، وأيضاً لو كانوا 7 نفس الشيء نضرب في 7 فتصير المقامات تساوي واحد. لكن الهدف أنهم يكونون متساويين، لأنهم لو ما كانوا متساويين رح ينقلنا هذا الكلام إلى القطع الناقص.

القطع الناقص

وهذه معادلته: التربيع على الطرفين، وعندنا مقامات مختلفة هنا. المقام الأكبر هو عبارة عن a تربيع، والمقام الأصغر هو عبارة عن b تربيع، أما الطرف اليمين فيساوي واحد. نفس الشيء، المقام الأكبر هو عبارة عن a تربيع، فلو طُلب منا a ناخذ الجذر التربيعي للمقام الأكبر، وهنا b تربيع، لو نبغى b ناخذ الجذر التربيعي للمقام الأصغر. وأيضاً مهم عندنا أن العلامة هنا زائد ما بين حد x وحد y. وهذا هو شكل القطع الناقص الأفقي: كأن دائرة مركزها ثبتنا وسحبنا على الطرفين، فصار عندنا المركز ثابت، وعندنا هنا بؤرة على اليمين وبؤرة على اليسار. لما يكون القطع الناقص أفقياً فالمسافة الأفقية هنا للشكل أكيد أكبر من المسافة العمودية. والمسافة من المركز إلى الرأس: هذا نسميه رأس وهنا نسميه رأس، واللي فوق نسميه الرأس المرافق، وهنا الرأس المرافق الثاني. فهذه هي a، المسافة من المركز إلى الرأس، وهذه a ثانية من المركز إلى الرأس، يعني المسافة من الرأس إلى الرأس تساوي 2a. أما المسافة من المركز إلى الرأس المرافق فهي b، هنا b وهنا b، والمسافة من الرأس المرافق إلى الرأس المرافق الثاني تساوي 2b. لو لفّينا الشكل زي كذا رح يطلع عندنا القطع الناقص العمودي. فمعناتها عندنا قطع ناقص عمودي وقطع ناقص أفقي، كيف نفرق بينهم بالمعادلة؟ نشوف وين المقام الأكبر: إذا كان المقام الأكبر تحت حد x فهو أفقي، وإذا كان المقام الأكبر تحت حد y فهو عمودي.

القطع الزائد

ننتقل إلى القطع الزائد. القطع الزائد هو نفس معادلة القطع الناقص، ولكن نستبدل علامة الزائد هذه بسالب. وهنا نلاحظ فيه تناقض ما بين الاسم والإشارة: في القطع الناقص عندنا زائد، وفي القطع الزائد عندنا ناقص، فهذا يساعدنا نتذكر المعادلتين. في القطع الزائد ممكن تكون المقامات مختلفة أو متساوية. ونفس الشيء عندنا شكل أفقي وشكل عمودي، واللي يحدد اتجاه الشكل هو الحد الموجب: فيكون أفقياً إذا الحد الموجب هو x، ويكون عمودياً إذا الحد الموجب هو y. والمركز رح يكون هنا ما بين الشكلين، أما عند الشكلين هنا فعندنا بؤرتان: هنا بؤرة وهنا بؤرة.

القطع المكافئ

آخر شيء عندنا القطع المكافئ، وأهم شيء أن التربيع على جهة واحدة فقط. وعشان نتذكر معادلة القطع المكافئ ممكن نتذكر الدالة المشهورة y = x²، فرسمتها راح تكون زي كذا. راح نزوّد على المعادلة هذه إحداثيات المركز: عند y دائماً سالب k وعند x سالب h. فالآن إذا كان التربيع على x معناتها القطع المكافئ يفتح عمودياً، إلى الأعلى أو إلى الأسفل، بحسب الإشارة اللي هنا: إذا كانت موجبة يفتح إلى الأعلى، إذا كانت سالبة يفتح إلى الأسفل. في الصورة القياسية العدد هذا نسميه 4c، ويكون دائماً قدام الحد اللي ما عليه تربيع، يعني كأننا عوّضناه بما أن ما عليه تربيع، فخلّيناه هو يحدد اتجاه الشكل: إذا كان موجباً فرح يفتح إلى الأعلى، وإذا كان سالباً يفتح إلى الأسفل. أما إذا كان التربيع على حد y فمعناتها القطع المكافئ يفتح إلى اليمين أو إلى اليسار. بما أن التربيع على y فالـ 4c رح تكون عند حد x: إذا كانت موجبة يفتح إلى اليمين، إذا كانت سالبة يفتح إلى اليسار.

الخاتمة: إحداثيات المركز أو الرأس

فهذه أهم النقاط الرئيسية لتساعدنا نفهم المعادلات ونربطها بالشكل. وأخيراً بالنسبة لإحداثيات المركز، أو إحداثيات الرأس بالنسبة للقطع المكافئ، فننتبه أن علامة السالب موجودة في المعادلة. فإذا كانت إحداثيات المركز أو الرأس موجبة مثل النقطة (2, 3) فنحطها بالمعادلة مثل 2 و3، لكن علامات السالب تظل موجودة. أما إذا كانت النقطة (−2, −3) فلما نحطها في المعادلة تتغير الإشارة: هنا تصير موجب 2 وهنا موجب 3.