التحويل من الإحداثيات الديكارتية إلى القطبية

التحويل من الإحداثيات الديكارتية إلى القطبية

بعد أن تعلمنا كيف نحول من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية باستخدام:

**x = r cosθ**

**y = r sinθ**

سنتعلم الآن العملية العكسية، وهي التحويل من الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية، أي أننا نعرف \(x\) و\(y\)، ونريد إيجاد \(r\) و\(\theta\).

إيجاد نصف القطر \(r\)

إيجاد قيمة \(r\) هو الجزء الأسهل، لأن \(x\) و\(y\) يمثلان ضلعي مثلث قائم الزاوية، بينما يمثل \(r\) وتر هذا المثلث.

لذلك نستخدم نظرية فيثاغورس، فتكون القاعدة:

**r = √(x² + y²)**

وهذه قاعدة ثابتة في جميع مسائل التحويل.

إيجاد الزاوية \(\theta\)

لحساب الزاوية نستخدم العلاقة:

**θ = tan⁻¹(y/x)**

لكن يجب الانتباه إلى أن هذه العلاقة وحدها لا تكفي دائماً، لأن معكوس الظل قد يعطي نفس القيمة لنقاط تقع في أرباع مختلفة، لذلك نحتاج إلى معرفة الربع الذي تقع فيه النقطة.

إذا كانت \(x\) موجبة

إذا كانت قيمة \(x\) أكبر من الصفر، فإننا نستخدم القانون مباشرة دون أي تعديل.

مثلاً إذا كانت النقطة:

**(2, 3)**

فإن:

**θ = tan⁻¹(3/2)**

إذا كانت \(x\) سالبة

إذا كانت قيمة \(x\) سالبة، فإن ناتج معكوس الظل لا يعطينا الزاوية الصحيحة، لذلك نضيف **180°** إلى الناتج.

فإذا كانت النقطة:

**(-2, 3)**

فنحسب:

**θ = tan⁻¹(3/-2) + 180°**

لماذا نضيف 180°؟

لنقارن بين النقطتين:

- (1, 1) - (-1, -1)

في الحالتين تكون قيمة:

**y/x = 1**

أي أن معكوس الظل يعطي نفس القيمة، لكن الزاويتين مختلفتان.

- النقطة الأولى زاويتها **45°**. - النقطة الثانية زاويتها **225°**.

ولهذا لا يكفي استخدام معكوس الظل وحده، بل يجب أيضاً معرفة إشارة \(x\) لتحديد الربع الصحيح.

إذا كانت \(x = 0\)

إذا كانت قيمة \(x\) تساوي صفراً، فهذا يعني أن النقطة تقع على محور \(y\)، ولا يمكن استخدام قانون الظل لأن المقام يساوي صفراً.

في هذه الحالة ننظر إلى إشارة \(y\):

- إذا كانت \(y\) موجبة، فإن الزاوية تساوي **90°** أو **π/2**. - وإذا كانت \(y\) سالبة، فإن الزاوية تساوي **-90°** أو **-π/2**.

خطوات التحويل

لتحويل أي نقطة من الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية:

- نحسب نصف القطر باستخدام:

**r = √(x² + y²)**

- نحسب الزاوية باستخدام:

**θ = tan⁻¹(y/x)**

- ثم نحدد الربع الصحيح: - إذا كانت \(x > 0\)، نستخدم الناتج مباشرة. - إذا كانت \(x < 0\)، نضيف **180°**. - إذا كانت \(x = 0\)، تكون الزاوية **90°** إذا كانت \(y\) موجبة، و**-90°** إذا كانت \(y\) سالبة.

الخلاصة

للتحويل من الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية نحتاج إلى إيجاد نصف القطر باستخدام نظرية فيثاغورس، ثم نحسب الزاوية باستخدام معكوس الظل مع الانتباه إلى الربع الصحيح. فإذا كانت \(x\) سالبة نضيف **180°**، وإذا كانت \(x\) تساوي صفراً فإن الزاوية تعتمد مباشرة على إشارة \(y\).