ماهي الدالة و اختبار الخط الرأسي

اختبر فهمك

اختبار الدوال

1
ما تعريف الدالة؟

أسئلة متوقعة

تمارين محلولة: مفهوم الدالة واختبار الخط الرأسي

ثلاث مسائل شاملة لفهم الدوال واختبار الخط الرأسي

1

تحديد الدالة من مخطط العلاقات

السؤال:

لديك العلاقة التالية بين مجموعتين:
المجموعة A = {1, 2, 3}
المجموعة B = {4, 5, 6, 7}
حيث: 1 → 5، 2 → 6، 3 → 6
المطلوب: هل هذه العلاقة تمثل دالة؟ ولماذا؟

مخطط العلاقة

المجموعة A 1 2 3 المجموعة B 5 6 7 هل هذه دالة؟

الحل:

الخطوة 1: تحديد المعطيات

• عناصر المجموعة A: {1, 2, 3}
• عناصر المجموعة B: {4, 5, 6, 7}
• العلاقة: 1 → 5، 2 → 6، 3 → 6

الخطوة 2: فحص شرط الدالة

الشرط: كل عنصر من A يجب أن يرتبط بعنصر واحد فقط من B
• العنصر 1 ← يرتبط بـ 5 فقط ✓
• العنصر 2 ← يرتبط بـ 6 فقط ✓
• العنصر 3 ← يرتبط بـ 6 فقط ✓

الخطوة 3: الاستنتاج

كل عنصر من المجموعة A يرتبط بعنصر واحد فقط من المجموعة B
ملاحظة: يمكن أن يرتبط عنصران مختلفان (2 و 3) بنفس العنصر (6) - وهذا مقبول!

الإجابة النهائية: نعم، هذه العلاقة تمثل دالة ✓

المخطط مع التوضيح

1 2 3 5 6 ✓ ✓ ✓ دالة صحيحة - كل X له Y واحد فقط
2

تطبيق اختبار الخط الرأسي على منحنى

السؤال:

أمامك الرسم البياني لمنحنى على المستوى الديكارتي.
المطلوب: استخدم اختبار الخط الرأسي لتحديد ما إذا كان هذا المنحنى يمثل دالة أم لا.

الرسم البياني للمنحنى

X Y هل يمثل هذا دالة؟

الحل:

الخطوة 1: تحديد المعطيات

• لدينا منحنى على شكل دائرة
• نريد تطبيق اختبار الخط الرأسي

الخطوة 2: تطبيق اختبار الخط الرأسي

نرسم خطاً رأسياً (عمودياً) يوازي محور Y
نحرك الخط عبر المنحنى ونحسب عدد نقاط التقاطع

الخطوة 3: تحليل النتيجة

الخط الرأسي يقطع الدائرة في نقطتين
النقطة الأولى: في الجزء العلوي من الدائرة
النقطة الثانية: في الجزء السفلي من الدائرة
هذا يعني: قيمة X واحدة تعطي قيمتين مختلفتين لـ Y

الإجابة النهائية: لا، هذا المنحنى ليس دالة ✗

التوضيح النهائي

نقطتا تقاطع! فشل اختبار الخط الرأسي - ليست دالة
3

تحديد الدالة من مجموعة أزواج مرتبة

السؤال:

حدد أي من المجموعات التالية تمثل دالة:

المجموعة الأولى: {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}
المجموعة الثانية: {(1, 2), (2, 4), (1, 5), (3, 6)}
المجموعة الثالثة: {(0, 1), (1, 1), (2, 1), (3, 1)}

المطلوب: أي المجموعات تمثل دالة؟ ولماذا؟

تمثيل المجموعات على محاور الإحداثيات

المجموعة الأولى X المجموعة الثانية X المجموعة الثالثة X دالة ✓ كل X له Y واحد فقط (1,3) X=1 → Y=3 (2,5) X=2 → Y=5 (3,7) X=3 → Y=7 (4,9) X=4 → Y=9 ليست دالة ✗ X=1 له قيمتان! (1,2) X=1 → Y=2 (2,4) X=2 → Y=4 (1,5) X=1 → Y=5 (3,6) X=3 → Y=6 دالة ✓ دالة ثابتة (0,1) X=0 → Y=1 (1,1) X=1 → Y=1 (2,1) X=2 → Y=1 (3,1) X=3 → Y=1

الحل:

الخطوة 1: فحص المجموعة الأولى

{(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}
• X = 1 يرتبط بـ Y = 3 فقط ✓
• X = 2 يرتبط بـ Y = 5 فقط ✓
• X = 3 يرتبط بـ Y = 7 فقط ✓
• X = 4 يرتبط بـ Y = 9 فقط ✓
النتيجة: دالة صحيحة ✓

الخطوة 2: فحص المجموعة الثانية

{(1, 2), (2, 4), (1, 5), (3, 6)}
• X = 1 يرتبط بـ Y = 2 و Y = 5 ✗
• X = 2 يرتبط بـ Y = 4 فقط ✓
• X = 3 يرتبط بـ Y = 6 فقط ✓
النتيجة: ليست دالة - X واحد له أكثر من Y ✗

الخطوة 3: فحص المجموعة الثالثة

{(0, 1), (1, 1), (2, 1), (3, 1)}
• X = 0 يرتبط بـ Y = 1 فقط ✓
• X = 1 يرتبط بـ Y = 1 فقط ✓
• X = 2 يرتبط بـ Y = 1 فقط ✓
• X = 3 يرتبط بـ Y = 1 فقط ✓
النتيجة: دالة ثابتة صحيحة (Y = 1) ✓

الإجابة النهائية: المجموعة الأولى والثالثة تمثلان دوال ✓

المجموعة الثانية ليست دالة ✗

ملخص المفاهيم المستخدمة

شرط الدالة الأساسي

كل X له Y واحد فقط

المسألة 1، 3

اختبار الخط الرأسي

نقطة واحدة = دالة

المسألة 2

الدالة الثابتة

Y = ثابت

المسألة 3

نصائح لحل مسائل الدوال

• تحقق دائماً: هل كل X له Y واحد فقط؟
• استخدم اختبار الخط الرأسي للرسوم البيانية
• X واحد يمكن أن يعطي Y واحد فقط (دالة صحيحة)
• عدة X يمكن أن تعطي نفس Y (مقبول)
• إذا قطع الخط الرأسي المنحنى أكثر من مرة، ليست دالة
• الدالة الثابتة (Y = رقم) هي دالة صحيحة

الشرح

مفهوم الدالة واختبار الخط الرأسي

الموضوع: تعريف الدالة والعلاقات الرياضية

المفاهيم: المدخلات والمخرجات، شرط الدالة، اختبار الخط الرأسي

الهدف: فهم متى تكون العلاقة الرياضية دالة ومتى لا تكون، وكيفية استخدام اختبار الخط الرأسي

الرسم التوضيحي: مفهوم الدالة - الغرفة الصغيرة
دالة المدخل (X) المخرج (Y) 2 4 الشرط: لكل مدخل X يوجد مخرج Y واحد فقط

1 تعريف الدالة

الدالة هي علاقة رياضية
لكل مدخل (X) فيها يطابق مخرج واحد فقط (Y)
✓
ما هو مقبول (دالة)
• عدة مدخلات تعطي نفس المخرج
مثال: X₁، X₂، X₃ → نفس Y
هذا مقبول تماماً!

• كل مدخل يعطي مخرج واحد فقط
مثال: X = 2 → Y = 4 (قيمة واحدة فقط)
✗
ما هو غير مقبول (ليست دالة)
مدخل واحد يعطي أكثر من مخرج
مثال: X = 2 → Y₁ و Y₂
❌
هذا غير مقبول - ليست دالة!
النتيجة: الدالة = كل X له Y واحد فقط
أمثلة توضيحية: دالة صحيحة مقابل علاقة خاطئة
دالة صحيحة ✓ 1 2 3 5 10 كل X له Y واحد فقط ليست دالة ✗ 1 2 3 3 7 9 X واحد له أكثر من Y

2 أمثلة على الدوال

مثال 1: دالة خطية

Y = 2X
X = 2 → Y = 4
X = 3 → Y = 6
X = 5 → Y = 10
✓ دالة صحيحة

مثال 2: دالة ثابتة

Y = 5
X = 1 → Y = 5
X = 2 → Y = 5
X = 3 → Y = 5
✓ دالة صحيحة

الملاحظة المهمة

في الدالة الثابتة Y = 5

قيمة Y ثابتة لكل قيم X

وهذا مقبول لأن كل X يعطي قيمة واحدة فقط لـ Y

النتيجة: الدوال يمكن أن تكون متغيرة أو ثابتة، المهم أن كل X له Y واحد فقط

3 اختبار الخط الرأسي

إذا قطع الخط الرأسي المنحنى في أكثر من نقطة واحدة
فإن العلاقة ليست دالة
دالة صحيحة ✓
نقطة واحدة
دالة ثابتة ✓
نقطة واحدة
ليست دالة ✗
نقطتان!
النتيجة: الخط الرأسي يجب أن يقطع المنحنى في نقطة واحدة فقط ليكون دالة
التطبيق: اختبار الخط الرأسي المتحرك
دالة صحيحة ليست دالة دائماً نقطة تقاطع واحدة ✓ نقطتا تقاطع - ليست دالة ✗

تذكر دائماً

الدالة: كل مدخل X له مخرج Y واحد فقط
اختبار الخط الرأسي: نقطة تقاطع واحدة = دالة صحيحة

حل بالخطوات

1
تقييم الدالة: إذا كانت f(x) = 2x + 3، احسب f(5)
2
اختبار الخط الرأسي: هل العلاقة {(1,2), (2,4), (3,6), (1,8)} تمثل دالة؟
3
مثال من الحياة الواقعية: سيارة تسير بسرعة ثابتة 60 كم/ساعة، اكتب دالة تعبر عن المسافة بدلالة الزمن

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
242
الدرس التالي
ثاني ثانوي الفصل الأول
جاري تحميل التعليقات...