خصائص الأعداد الحقيقية

خصائص الأعداد الحقيقية

التبديل
ترتيب العناصر لا يؤثر
التجميع
طريقة التجميع لا تؤثر
التوزيع
توزيع الضرب على الجمع
المحايد والنظير
الصفر والواحد والنظير
١ خاصية التبديل — Commutative Property

في الجمع — ترتيب الأعداد لا يغيّر النتيجة:

a + b = b + a
مثال 5 + 2 = 2 + 5 = 7

في الضرب — ترتيب الأعداد لا يغيّر الناتج:

a \times b = b \times a
مثال 5 × 2 = 2 × 5 = 10
٢ خاصية التجميع — Associative Property

في الجمع — طريقة التجميع لا تؤثر في النتيجة:

a + (b + c) = (a + b) + c
5 + (2+7) = 5 + 9 = 14
(5+2) + 7 = 7 + 7 = 14

في الضرب — طريقة التجميع لا تؤثر في الناتج:

a \times (b \times c) = (a \times b) \times c
5 × (2×7) = 5 × 14 = 70
(5×2) × 7 = 10 × 7 = 70
٣ العنصر المحايد — Identity Element

محايد الجمع هو الصفر — إضافته لا تغيّر العدد:

a + 0 = 0 + a = a

محايد الضرب هو الواحد — الضرب فيه لا يغيّر العدد:

a \times 1 = 1 \times a = a
٤ خاصية النظير — Inverse Property

النظير الجمعي لأي عدد هو معاكسه — مجموعهما يساوي الصفر:

a + (-a) = (-a) + a = 0
مثال 2 + (−2) = 0

النظير الضربي لأي عدد هو مقلوبه — حاصل ضربهما يساوي الواحد:

a \times \frac{1}{a} = 1

a ≠ 0

— يُشترط أن يكون العدد غير صفري، لأن مقلوب الصفر غير معرّف.
٥ خاصية الانغلاق — Closure Property

جمع أي عددين حقيقيين ينتج دائماً عدداً حقيقياً:

a + b \in \mathbb{R}

ضرب أي عددين حقيقيين ينتج دائماً عدداً حقيقياً:

a \times b \in \mathbb{R}
٦ خاصية التوزيع — Distributive Property

الضرب يتوزع على الجمع من اليسار ومن اليمين:

a(b + c) = ab + ac
(b + c)a = ba + ca
3 × (4+5) = 3×4 + 3×5 = 12 + 15 = 27
∑ ملخص الخصائص
الخاصية الجمع الضرب
التبديل a+b=b+a a \times b=b \times a
التجميع a+(b+c)=(a+b)+c a(bc)=(ab)c
العنصر المحايد a+0=a a \times 1=a
النظير a+(-a)=0 a \times \dfrac{1}{a}=1
الانغلاق a+b \in \mathbb{R} a \times b \in \mathbb{R}
التوزيع a(b+c)=ab+ac
✓ الخلاصة
— التبديل: ترتيب الأعداد في الجمع أو الضرب لا يؤثر في النتيجة.
— التجميع: طريقة وضع الأقواس لا تؤثر في ناتج الجمع أو الضرب.
— العنصر المحايد: الصفر محايد الجمع، والواحد محايد الضرب.
— النظير الجمعي: مجموع العدد ومعاكسه يساوي الصفر.
— النظير الضربي: حاصل ضرب العدد بمقلوبه يساوي الواحد (شرط عدم الصفر).
— الانغلاق: العمليات على الأعداد الحقيقية تبقى ضمن المجموعة.
— التوزيع: الضرب يتوزع على الجمع.
الدرس السابق
6
الدرس التالي
ثاني ثانوي الفصل الأول
جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

في الدرس السابق تعرفنا على مفهوم الأعداد الحقيقية، وفي هذا الدرس سنتعرف على أهم خصائصها، وهي خصائص أساسية تُستخدم باستمرار في الجبر وحل المعادلات. أولًا:… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

الأعداد الحقيقية

الثانوية

الأعداد الحقيقية (Real Numbers)

الثانوية

الأعداد المركبة

الثانوية

تمثيل الأعداد المركبة في الإحداثيات الديكارتية والقطبية

الثانوية

الأعداد المركبة وخط الأعداد

الثانوية