مفهوم الدالة
— الدالة هي علاقة رياضية تربط بين متغيرين.
— المتغير المستقل (X): المدخل — نتحكم فيه ونختار قيمته.
— المتغير التابع (Y): المخرج — ينتج عن المتغير المستقل.
— يُسمّى "تابعاً" لأن قيمته تتوقف كلياً على قيمة المتغير المستقل.
مثال ١ — دالة خطية:
مثال ٢ — دالة ثابتة:
— نُمرّر خطاً رأسياً على منحنى العلاقة من أقصى اليسار إلى أقصى اليمين.
ثلاثة منحنيات مقارنة:
الاختبار التفاعلي — حرّك الخط الرأسي:
| المفهوم | التفصيل | الحكم |
|---|---|---|
| دالة خطية | لكل | دالة ✓ |
| دالة ثابتة | كل | دالة ✓ |
| القطع المكافئ | الخط الرأسي يقطعه مرة | دالة ✓ |
| الدائرة | الخط الرأسي يقطعها مرتين | ليست دالة ✗ |
| مدخل ← مخرجان | ليست دالة ✗ |
تمارين محلولة — مفهوم الدالة
المجموعة الأولى:
المجموعة الثانية:
المجموعة الثالثة:
المجموعة الثانية: ليست دالة ✗
| المسألة | الأداة | الحكم |
|---|---|---|
| مخطط العلاقات أ ← ب | شرط الدالة | دالة ✓ |
| الدائرة (منحنى) | اختبار الخط الرأسي | ليست دالة ✗ |
| {(1,3),(2,5),(3,7),(4,9)} | فحص تكرار X | دالة ✓ |
| {(1,2),(2,4),(1,5),(3,6)} | فحص تكرار X | ليست دالة ✗ |
| {(0,1),(1,1),(2,1),(3,1)} | دالة ثابتة | دالة ✓ |
اختبار الدوال
1 / 10في هذا الدرس سنتعرف على مفهوم **الدالة**، وهي من أهم المفاهيم في الرياضيات، وتتكرر في مراحل دراسية متعددة، وفي كل مرحلة نتعلم جانبًا جديدًا منها.
ما هي الدالة؟
الدالة هي علاقة رياضية تربط بين **متغيرين**:
- **المتغير المستقل**: وهو المتغير الذي نتحكم في قيمته، ويُسمى المدخلات. - **المتغير التابع**: وهو الناتج الذي يعتمد على قيمة المتغير المستقل، ويُسمى المخرجات.
أمثلة على الدوال
من الأمثلة على الدوال العلاقة بين **السرعة والمسافة**، حيث يمكننا تغيير السرعة فتتغير المسافة المقطوعة.
ومثال آخر العلاقة بين **درجة الحرارة والزمن اللازم لغليان الماء**، فكلما زادت درجة الحرارة قلَّ الوقت اللازم للوصول إلى درجة الغليان.
في جميع هذه الأمثلة نختار قيمة للمتغير المستقل، ثم نحصل على قيمة مقابلة للمتغير التابع.
كيف نستخدم الدالة؟
نُدخل قيمة المتغير المستقل في قانون الدالة، فتنتج لنا قيمة المتغير التابع.
ولهذا يسمى المتغير الثاني **تابعًا** لأنه يعتمد على قيمة المتغير الأول.
متى تكون العلاقة دالة؟
ليست كل علاقة بين متغيرين تمثل دالة.
وللتأكد من ذلك نستخدم **اختبار الخط الرأسي**.
اختبار الخط الرأسي
نرسم خطًا رأسيًا ونحركه من أقصى اليسار إلى أقصى اليمين عبر الرسم البياني.
إذا كان الخط يقطع المنحنى **مرة واحدة فقط** في كل موضع، فإن العلاقة تمثل دالة.
أما إذا قطع المنحنى **أكثر من مرة** في أي موضع، فإن العلاقة لا تمثل دالة.
أمثلة
- **الدائرة** لا تمثل دالة، لأن الخط الرأسي يقطعها في نقطتين في بعض المواضع. - أما **القطع المكافئ** فيمثل دالة، لأنه يجتاز اختبار الخط الرأسي، بحيث يقابل كل قيمة من قيم \(x\) قيمة واحدة فقط من قيم \(y\).
الخلاصة
- الدالة هي علاقة تربط بين متغير مستقل ومتغير تابع. - المتغير المستقل يمثل المدخلات، والمتغير التابع يمثل المخرجات. - لكل قيمة من المتغير المستقل يجب أن توجد **قيمة واحدة فقط** من المتغير التابع. - نستخدم اختبار الخط الرأسي للتأكد مما إذا كانت العلاقة تمثل دالة أم لا.
عن هذا الدرس
في هذا الدرس سنتعرف على مفهوم **الدالة**، وهي من أهم المفاهيم في الرياضيات، وتتكرر في مراحل دراسية متعددة، وفي كل مرحلة نتعلم جانبًا جديدًا منها. ما هي… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.
