درس تفاعلي عن الدوال الأساسية في الرياضيات — كل دالة معروضة بمفردها مع رسمها البياني وخصائصها.
الدوال الرئيسية
في هذا الدرس سنتعرف على **الدوال الرئيسية**، وهي أكثر الدوال استخدامًا في الرياضيات والهندسة والفيزياء، لأنها تمثل كثيرًا من الظواهر الطبيعية والتطبيقات العملية.
سندرس في هذا الدرس خمس دوال أساسية، وهي:
- الدالة الثابتة. - الدالة المحايدة. - الدالة التربيعية. - الدالة التكعيبية. - دالة الجذر التربيعي.
الدالة الثابتة
تعرف الدالة الثابتة بالعلاقة:
\[ f(x)=c \]
حيث إن \(c\) عدد ثابت، ويمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا أو صفرًا.
في هذه الدالة تبقى قيمة المخرجات ثابتة مهما تغيرت قيمة \(x\)، ولذلك يكون الرسم البياني خطًا أفقيًا.
ومن الأمثلة عليها أن يكون ارتفاع مبنى ثابتًا مع مرور الزمن، فلا تتغير القيمة مهما تغير المتغير المستقل.
خصائص الدالة الثابتة
الدالة الثابتة:
- متصلة على جميع الأعداد الحقيقية. - قيمة الدالة ثابتة دائمًا. - دالة زوجية لأنها تحقق:
\[ f(-x)=f(x) \]
الدالة المحايدة
تعرف الدالة المحايدة بالعلاقة:
\[ f(x)=x \]
وفيها تكون قيمة \(y\) مساوية تمامًا لقيمة \(x\).
فعندما تكون:
\[ x=1 \]
فإن:
\[ y=1 \]
وعندما تكون:
\[ x=-5 \]
فإن:
\[ y=-5 \]
ولهذا يكون الرسم البياني خطًا مستقيمًا يمر بنقطة الأصل ويميل بزاوية 45 درجة.
خصائص الدالة المحايدة
الدالة المحايدة:
- متصلة على جميع الأعداد الحقيقية. - دالة فردية لأنها تحقق:
\[ f(-x)=-f(x) \]
كما أن منحناها متماثل حول نقطة الأصل.
الدالة التربيعية
تعرف الدالة التربيعية بالعلاقة:
\[ f(x)=x^2 \]
وفي هذه الدالة يؤدي التربيع إلى إزالة الإشارة السالبة، لذلك تعطي القيم الموجبة والسالبة النتيجة نفسها.
فعلى سبيل المثال:
\[ 2^2=(-2)^2=4 \]
ولهذا يكون منحنى الدالة على شكل **قطع مكافئ** مفتوح إلى الأعلى.
خصائص الدالة التربيعية
الدالة التربيعية:
- متصلة على جميع الأعداد الحقيقية. - دالة زوجية لأنها تحقق:
\[ f(-x)=f(x) \]
كما أن منحناها متماثل حول محور \(y\).
الدالة التكعيبية
تعرف الدالة التكعيبية بالعلاقة:
\[ f(x)=x^3 \]
وعلى عكس الدالة التربيعية، فإن التكعيب لا يزيل الإشارة السالبة.
فعلى سبيل المثال:
\[ (-2)^3=-8 \]
بينما:
\[ 2^3=8 \]
ولهذا يكون منحنى الدالة ممتدًا في الاتجاهين الموجب والسالب، ويزداد بسرعة أكبر من الدالة التربيعية.
خصائص الدالة التكعيبية
الدالة التكعيبية:
- متصلة على جميع الأعداد الحقيقية. - دالة فردية لأنها تحقق:
\[ f(-x)=-f(x) \]
كما أن منحناها متماثل حول نقطة الأصل.
دالة الجذر التربيعي
تعرف دالة الجذر التربيعي بالعلاقة:
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
ويشترط أن يكون:
\[ x\ge0 \]
لأن الجذر التربيعي للأعداد السالبة ليس عددًا حقيقيًا.
شكل دالة الجذر التربيعي
يبدأ منحنى الدالة من نقطة الأصل، ثم يرتفع تدريجيًا كلما زادت قيمة \(x\).
ويكون المنحنى متزايدًا، لكن معدل الزيادة يقل تدريجيًا مع ازدياد قيمة \(x\).
خصائص دالة الجذر التربيعي
دالة الجذر التربيعي:
- معرفة عندما:
\[ x\ge0 \]
- متصلة على مجالها. - غير معرفة للأعداد السالبة ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية.
مقارنة بين الدوال الرئيسية
يمكن التمييز بين الدوال الرئيسية من خلال خصائصها الأساسية:
- الدالة الثابتة تعطي قيمة ثابتة مهما تغيرت قيمة \(x\). - الدالة المحايدة تجعل قيمة المخرجات مساوية لقيمة المدخلات. - الدالة التربيعية تنتج منحنى على شكل قطع مكافئ وهي دالة زوجية. - الدالة التكعيبية تعطي منحنى متماثلًا حول نقطة الأصل وهي دالة فردية. - دالة الجذر التربيعي تبدأ من الصفر ولا تُعرَّف إلا عندما تكون قيمة \(x\) أكبر من أو تساوي الصفر.
ملخص الدرس
- الدوال الرئيسية هي أكثر الدوال استخدامًا في الرياضيات والهندسة والفيزياء. - الدالة الثابتة قيمتها لا تتغير مهما تغيرت قيمة المتغير المستقل. - الدالة المحايدة تحقق العلاقة \(f(x)=x\) وهي دالة فردية. - الدالة التربيعية تحقق العلاقة \(f(x)=x^2\) وهي دالة زوجية. - الدالة التكعيبية تحقق العلاقة \(f(x)=x^3\) وهي دالة فردية. - دالة الجذر التربيعي تعرف فقط عندما يكون \(x\ge0\)، وتبدأ من نقطة الأصل وتزداد تدريجيًا.
عن هذا الدرس
درس تفاعلي عن الدوال الأساسية في الرياضيات — كل دالة معروضة بمفردها مع رسمها البياني وخصائصها. هذا الدرس ضمن الفصل الثالث لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.
